第八章--多元函数微积分

返回上页下页设),(000yxP是xoy平面上的一个点，是某一正数，与点),(000yxP距离小于的点),(yxP的全体，称为点0P的邻域，记为),(0PU，（1）邻域0P),(0PU||0PPP.)()(|),(2020yyxxyx第一节多元函数的概念一、平面区域.}0{),(000去心邻域的为点称PPPPPU返回上页下页（2）区域.)(的内点为则称，的某一邻域一个点．如果存在点是平面上的是平面上的一个点集，设EPEPUPPEEP.为开集则称的点都是内点，如果点集EE}41),{(221yxyxE例如，即为开集．返回上页下页的边界点．为的点，则称也有不属于的点，于的任一个邻域内既有属如果点EPEEPEP的边界．的边界点的全体称为EE是连通的．开集，则称且该折线上的点都属于连结起来，任何两点，都可用折线内是开集．如果对于设DDDD返回上页下页连通的开集称为区域或开区域．}.41|),{(22yxyx例如，xyo开区域连同它的边界一起称为闭区域.}.41|),{(22yxyx例如，xyo返回上页下页}0|),{(yxyx有界闭区域；无界开区域．xyo例如，则称为无界点集．为有界点集，否成立，则称对一切即，不超过间的距离与某一定点，使一切点如果存在正数对于点集EEPKAPKAPAEPKE}41|),{(22yxyx返回上页下页（3）聚点设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点，如果点P的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集E，则称P为E的聚点.内点一定是聚点；说明：边界点可能是聚点；}10|),{(22yxyx例(0,0)既是边界点也是聚点．返回上页下页点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．}10|),{(22yxyx例如,(0,0)是聚点但不属于集合．}1|),{(22yxyx例如,边界上的点都是聚点也都属于集合．返回上页下页（4）n维空间设n为取定的一个自然数，我们称n元数组),,,(21nxxx的全体为n维空间，而每个n元数组),,,(21nxxx称为n维空间中的一个点，数ix称为该点的第i个坐标.n维空间的记号为说明：;nRn维空间中两点间距离公式返回上页下页),,,,(21nxxxP),,,,(21nyyyQ.)()()(||2222211nnxyxyxyPQn维空间中邻域、区域等概念nRPPPPPU,||),(00特殊地当时，便为数轴、平面、空间两点间的距离．3,2,1n邻域：设两点为返回上页下页12(,,,),nxxxD12(,,,)nyfxxx12(,,,)nxxx12(,,,)nxxx都有唯一确定的实数y与之对应,则称此法则ƒ为定义在定义域是自变量的取值范围,常记为D(ƒ).12(,,,)nxxx定义设D为一个非空的n元有序数组的集合,对于每一个有序数组依某一法则ƒ,D上的n元函数,记为12(,,,)nxxxD称变量为自变量,变量y为因变量.也称因变量y为自变量的函数;集合D称为特别地:当n=1时为一元函数y=ƒ(x),x∈D;当n=2时为二元函数z=ƒ(x,y),(x,y)∈D.该函数的定义域.（5）多元函数的定义返回上页下页而与两个自变量和因变量采用什么字母无关.二元函数z=ƒ(x,y)的定义域是指使表达式ƒ(x,y)有意义的所有有序数组(x,y)构成的集合，是平面上的点集。可表示为{(x,y)|x,y所满足的条件}（6）二元函数的定义域二元及二元以上的函数统称为多元函数.决定一个二元函数的两要素:对应法则;定义域。返回上页下页例1求下列函数的定义域：222222(1);(2);(3)ln().zxyzRxyzRxy则x,y须满足：xy≥0,xyO即定义域为坐标平面上第Ⅰ、第Ⅲ象限(包括坐标轴)的区域.解(1)要使函数有意义,D={(x,y)∣xy≥0}.(如图)用集合表示为返回上页下页即定义域为xy面上由圆2220Rxy222xyR222{(,)}DxyxyRxyo-RRR-R222(2);zRxy要使函数有意义,则x,y须满足:包括圆周在内.(如图)用集合表示为所围成的平面区域,返回上页下页要使函数有意义,则x,y须满足:2220Rxy222xyR222{(,)}.DxyxyRxyo-RRR-R222(3)ln().zRxy即定义域为xy面上由圆区域,但不包括圆周在内.所围成的平面区用集合表示为:返回上页下页.)ln(的定义域确定二元函数yxz.0},0|),{(,上方的无界区域是直线即定义域是所以二元函数的定义域因为对数的真数非负yxGyxyxG解返回上页下页例2求的定义域．222)3arcsin(),(yxyxyxf解013222yxyx22242yxyx所求定义域为}.,42|),{(222yxyxyxD返回上页下页（7）二元函数的图形),(yxfz设函数),(yxfz的定义域为D，对于任意取定的DyxP),(，对应的函数值为),(yxfz，这样，以x为横坐标、y为纵坐标、z为竖坐标在空间就确定一点),,(zyxM，当x取遍D上一切点时，得一个空间点集}),(),,(|),,{(Dyxyxfzzyx，这个点集称为二元函数的图形.（如下页图）返回上页下页二元函数的图形通常是一张曲面.返回上页下页一、填空题:1、若yxxyyxyxftan),(22,则),(tytxf=____.2、若xyyxyxf2),(22,则)3,2(f__________;),1(xyf________________.3、若)0()(22yyyxxyf,则)(xf________.4、若22),(yxxyyxf,则),(yxf_________.函数)1ln(4222yxyxz的定义域是__________.练习题),(2yxft1213),(yxfxx21yyx112xyyxyx4,10),(222返回上页下页6、函数yxz的定义域是______________.7、函数xyzarcsin的定义域是_______________.8、函数xyxyz2222的间断点是________________.yxyxyx2,0,0),(xyxxyx,0),(xyxxyx,0),(02),(2xyyx返回上页下页定义设函数z=ƒ(x,y)在的某邻域有定义(在点000(,)Pxy0P000(,)Pxy000(,)Pxy00(,)xy如果动点P(x,y)沿任意处函数可无定义)，时，ƒ(x,y)总是趋于一个常数A,则称A为函数ƒ(x,y)在点或称当(x,y)趋于时，xyO.00(,)xy路径趋于定点以A为极限，记为ƒ(x,y)00lim()xxyyfx,yA00(,)(,)lim()xyxyfx,yA或处的极限,第二节二元函数的极限与连续性一、二元函数的极限返回上页下页说明：（1）定义中的方式是任意的；0PP（2）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．返回上页下页.01sinlim,1sin,0,0)1(221)0,0(),(22122yxeyxexxyxx故有界又由于当(x,y)→(0,0)时,求下列函数的极限：；2211sin)1(2yxex；2222)sin()2(yxyx.)sin()3(222yxyx例1解返回上页下页0)sin(lim,,02121)sin(0)3(222)0,0(),(22222222yxyxxxyxxyxyxyxyxyxyx有所以由极限的夹逼准则由于由于1sinlim)sin(lim,,0),0,0(),()2(02222)0,0(),(2222yxyxyxyxyxyx即有令当且仅当由于返回上页下页例2证明不存在．证26300limyxyxyx取,3kxy26300limyxyxyx6263303limxkxkxxkxyx,12kk其值随k的不同而变化，故极限不存在．返回上页下页二、二元函数的连续性定义设二元函数zf(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义,如果则称函数f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续,P0称为f(x,y)的连续点;否则称f(x,y)在P0处间断(不连续),P0称为f(x,y)的间断点.),(),(lim0000yxfyxfyyxx二元函数zf(x,y)在点P0(x0,y0)处连续,必须满足三个条件:①函数在点P0有定义;②函数在P0处的极限存在;③函数在P0处的极限值与P0处的函数值相等.返回上页下页如果f(x,y)在平面区域D内每一点处都连续,则称f(x,y)在区域D内连续,也称f(x,y)是D内的连续函数,记为f(x,y)∈C(D)，在区域D上连续函数的图形是一张既没有“洞”也没有“裂缝”的曲面.返回上页下页注由极限的运算法则,知(1).二元连续函数的和、差、积、商(当分母不为零时),(2).二元连续函数的复合函数仍为连续函数.仍为连续函数.(3).二元初等函数在其定义域内均为连续函数.由二元函数的连续性知，若ƒ(x,y)是初等函数且重要结论：00(,)(),xyDf00(,)xy则ƒ(x,y)在点处连续且0000(,)(,)lim(,)(,)xyxyfxyfxy返回上页下页注与一元函数类似,在有界闭区域上,二元连续函数性质1(最值存在定理)若ƒ(x,y)在闭区域D上连续，则也有如下性质:函数ƒ(x,y)在D上必有最大值和最小值.即在D上曲面z=ƒ(x,y)至少存在一个最高点和最低点.性质2(介值定理)若ƒ(x,y)在闭区域D上连续,实数c又介于其最小值和最大值之间,则在D上至少存在一点(ξ,η),使得ƒ(ξ,η)=c.注一元函数的极限运算法则对于二元函数来说，基本上都适用.返回上页下页.11lim00xyxyyx求21111lim1111lim11lim000000xyxyxyxyxyxyyxyxyx）（例3解返回上页下页对于二元函数若对于任意实数t，都有且(m为常数)则称f(x,y)为m次齐次函数。当m=0时，称f(x,y)为0次齐次函数，简称齐次函数。(,)(,)mftxtytfxyz=ƒ(x,y),(x,y)∈D.(tx,ty)∈D222222(,),(,)xyfxyxyfxyxy例为二次齐次函数0.为次齐次函数返回上页下页第三节偏导数与全微分一、偏导数1.偏导数的定义与计算设函数zf(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义,当x在x0有一改变量x(x≠0),而yy0保持不变,这时函数的改变量为xzf(x0＋x,y0)－f(x0,y0),xz称为函数f(x,y)在(x0,y0)处关于x的偏改变量(或偏增量).返回上页下页定义1设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义,如果xyxfyxxfxzxxx),(),(limlim000000).,(,|,|,|],),(),([),(),(,000000000000yxfzxfxzxyxyxfzxyxyxfzxyyxxxyyxxyyxx记作可偏导关于处在点并称函数的偏导数对处在点则称此极限为函数存在返回上页下页).,(,|,|,|),(),(limlim),(),(0000000000000000yxfzyfyzyyxfyyxfyzyyxyxfzyyyxxyyyxxyyxxyyy记作的偏导数对处在点函数类似地可定义:返回上页下页).,(),,(,,,),(),(li