清华大学数学实验-实验9-非线性规划1

数学实验实验9非线性规划实验9非线性规划实验目的：1）掌握用matlab优化工具箱解非线性规划的方法2）练习建立实际问题的非线性规划模型实验内容：4.某公司将3种不同含硫量的液体原料（分别记为甲、乙、丙）混合生产两种产品（分别记为A，B）.按照生产工艺的要求，原料甲、乙必须首先倒入混合池中混合，混合后的液体再分别于原料丙生产A，B.已知原料甲、乙、丙的含硫量分别是3%，1%，2%，进货价格分别为6千元/t，16千元/t，10千元/t；产品A,B的含硫量分别不能超过2.5%，1.5%，售价分别为9千元/t，15千元/t.根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应量都不能超过500t;产品A，B的最大市场需求量分别为100t，200t.（1）应如何安排生产？（2）如果产品A的最大市场需求量增长为600t，应如何安排生产？（3）如果乙的进货价格下降为13千元/t，应如何安排生产？分别对（1）、（2）两种情况进行讨论.解：（1）问题的建模设利用x1吨甲，x2吨乙，x3吨丙制造y1吨A；利用x2吨甲，x4吨乙，x6吨丙制造y2吨B；总收益是z千元。则有以下方程与不等式：质量守恒：y1=x1+x3+x5y2=x2+x4+x6总收益：z=9y1+15y2-6(x1+x2)-16(x3+x4)-10(x5+x6)化简得：z=3x1+9x2+3x3+9x4-x5+5x6含硫量约束：3%x1+1%x3+2%x5≤2.5%y13%x2+1%x4+2%x6≤1.5%y2化简得：0.5x1-1.5x3-0.5x5≤01.5x2-0.5x4+0.5x6≤0供应量约束：（x1+x2）,(x3+x4),(x5+x6)≤500需求量约束：y1≤100；y2≤200化简得：数学实验实验9非线性规划x1+x3+x5≤100x2+x4+x6≤200甲乙混合，比例相同：x1x3=x2x4整理得：x1x4-x2x3=0;模型的求解：该问题是一个带约束非线性规划问题，编写源程序如下：M文件：函数文件：functionz=lab94fun(x)z=-(3*x(1)+9*x(2)-7*x(3)-x(4)-x(5)+5*x(6));end非线性约束条件文件：function[c,ceq]=lab94con(x)c=0;ceq=x(1)*x(4)-x(2)*x(3);end主文件：A=[0.50-1.50-0.5001.50-0.500.5110000001100000011101010010101]b=[00500500500100200]'x0=[202020203030];%已验证在可行域中v1=[000000][x,z,ef,out,lag,grad,hess]=fmincon(@lab94fun,x0,A,b,[],[],v1,[],@lab94con);xz运算结果为：x=0.00000-0.0000100.00000100.0000数学实验实验9非线性规划z=-400因此，此时应购买100吨乙，100吨丙来生产200吨B，总共收益是400千元（2）问题的建模：修改x1+x3+x5≤100为：x1+x3+x5≤600，其余不变。模型的求解：主文件：将b变为：b=[00500500500600200]'在实际运行时发现，在初值为x0=[15010101015010]（也有其他初值）时，总收益最大。结果为：x=300.00000.00000-0.0000300.00000.0000z=-600因此，这时应该购入100吨甲和100吨丙来生产A，总收益是600千元。（3）问题的建模：总收益变为：z=3x1+9x2-4x3+2x4-x5+5x6其余不变。模型的求解：将函数文件修改为：z=-(3*x(1)+9*x(2)-4*x(3)+2*x(4)-x(5)+5*x(6));其余不变。对（1），结果为：（修改初值是x0=[3010101003010]）x=0.000050.0000-0.0000150.000000数学实验实验9非线性规划z=-750.0000对（2），结果为：（修改初值是x0=[3010101003010]）0.000050.0000-0.0000150.000000z=-750.0000可见，二者结果相同。因此，应购买50吨甲，150吨乙，生产200吨B，总收益是750千元。（本题初值对结果有一定影响，有时初值不同、结果不同，因此应该多选初值进行尝试。）9.8.美国某三种股票（A，B，C）12年（1943-1954年）的价格（已经包括了分红在内）每年的增长情况如下表所示（表中还给出了相应年份的500种股票的价格指数的增长情况）.例如，表中第一个数据1.300倍，即收益为30%，其余数据的含义以此类推.假设你在1955年时有一笔资金准备投资这三种股票，并期望年收益率至少达到15%，那么你应当如何投资？此外，考虑一下问题：（1）当期望的年收益率在10%~100%变化时，投资组合和相应的风险如何变化？（2）假设除了上述三种股票外，投资人还有一种无风险的投资方式，如购买国库券.假设国库券的年收益率为5%，如何考虑该投资问题？（3）假设你手上目前握有的股票比例为：股票A占50%，B占35%，C占15%.这个比例与你得到的最优解可能有所不同，但实际股票市场上每次股票买卖通常总有交易费，例如按交易额的1%收取交易费，这时你是否仍需要对手上的股票进行买卖（换手），以便满足“最优解”的要求？年份股票A股票B股票C股票指数19431.3001.2251.1491.25899719441.1031.2901.2601.19752619451.2161.2161.4191.36436119460.9540.7280.9220.91928719470.9291.1441.1691.05708019481.0561.1070.9651.05501219491.0381.3211.1331.18792519501.0891.3051.7321.31713019511.0901.1951.0211.24016419521.0831.3901.1311.18367519531.0350.9281.0060.990108数学实验实验9非线性规划19541.1761.7151.9081.526236解：问题的建模：为方便建模及程序编写，先将各值计算出来。令EA,EB,EC为各股票的期望，DA,DB,DC为各股票的方差，rAB、rAC、rBC分别为每两支股票之间的相关系数。可以计算得：EA=1.0891;EB=1.2137;EC=1.2346DA=0.0108;DB=0.0584;DC=0.0942rAB=0.4939;rAC=0.4097;rBC=0.7472同时可计算出每两种股票的协方差为：cov(A,B)=rAB√DA√DB=0.01240387cov(A,C)=rAC√DA√DC=0.01306782cov(B,C)=rBC√DB√DC=0.05542028令投资A,B,C三种股票每种所占的比例分别为x1、x2、x3因此，投资的总期望收益是：Z1=x1EA+x2EB+x3EC=1.0891x1+1.2137x2+1.2346x3投资总收益的方差为Z2=x12DA+x22DB+x32DC+2x1x2cov(A,B)+2x1x3cov(A,C)+2x2x3cov(B,C)=0.0108x12+0.0584x22+0.0942x32+0.01240387x1x2+0.01306782x1x3+0.05532028x2x3年收益率至少要达到15%：1.0891x1+1.2137x2+1.2346x3≥1.15其他约束：x1+x2+x3=1x1,x2,x3≥0模型的求解：源程序如下：函数文件：functionf=lab98fun(x)f=0.0108*x(1)^2+0.0584*x(2)^2+0.0942*x(3)^2+0.01240387*x(1)*x(2)+0.01306782*x(1)*x(3)+0.05532028*x(2)*x(3);end约束条件文件：function[c,ceq]=lab98con(x)c=1.15-1.0891*x(1)-1.2137*x(2)-1.2346*x(3);ceq=x(1)+x(2)+x(3)-1;end主程序：x0=[0.10.10.1];v1=[000];v2=[111];数学实验实验9非线性规划[x,fv,ef,out,lag,grad,hess]=fmincon(@lab98fun,x0,[],[],[],[],v1,v2,@lab98con);运行结果为：x=0.53940.29280.1678fv=0.0167所以选择投资A54%，B29%，C17%左右，可使方差最小，收益率的方差为1.67%。改变期望的年收益率，则可得到部分情况如下：期望年收益率投资组合收益率方差ABC10%90.55%6.91%2.54%1.04%11%84.09%10.74%5.17%1.06%12%76.58%15.22%8.2%1.13%13%69.05%19.77%11.18%1.25%14%61.53%24.31%14.16%1.43%15%53.94%29.28%16.78%1.67%20%16.37%51.58%32.05%3.64%22%1.32%60.67%38.01%4.8%22.5%045.93%54.07%5.36%23%022.01%77.99%6.96%23.46%00100%9.42%由表中数据所示，当期望年收益率低的时候，多投资A股一些可以减小风险。随着期望年收益率的不断增高，投资A股的份额不断减小，而B股和C股的份额在增大，同时风险也在增大，当期望年收益率更高时，B股的股份也下降，转而都投资C股，同时风险进一步加大。由此可以看出，高收益总是伴随着高风险。（2）问题的建模：只是要改变相应的约束条件。ED=1.05DD=0投资的总期望收益变为Z1=x1EA+x2EB+x3EC=1.0891x1+1.2137x2+1.2346x3+1.05x4投资总收益的方差不变其余约束条件变为x1+x2+x3+x4=1x1,x2,x3,x4≥0根据问题要求，变为1.0891x1+1.2137x2+1.2346x3+1.05x4≥1.15模型的求解：数学实验实验9非线性规划解为：x=0.24630.32680.19970.2272fv=0.0159因此，应投资的比例分别为A24.6%，B32.7%，C20%，D22.7%左右，收益率的方差为1.59%（3）问题的建模：需要改变收益的方程为Z1=x1EA+x2EB+x3EC=1.0891x1+1.2137x2+1.2346x3−0.01（|0.5−x1|+|0.35−x2|+|0.15−x3|）模型的求解：将收益的语句改为c=1.15-1.0891*x(1)-1.2137*x(2)-1.2346*x(3)+0.01*(abs(0.5-x(1))+abs(0.35-x(2))+abs(0.15-x(3)));运行后可得x=0.53140.31870.1500fv=0.0169因此，应投资的比例分别为A53.14%，B31.87%，C15%，收益率的方差为1.69%也就是适当改变A,B的持股比例，C股不变即可（本题没有用quadprog语句求解，最终结果与课本答案有偏差）