大学生数学建模竞赛

西南大学第五届大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了西南大学第五届大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，虽然本次竞赛采取分散自行答卷的机制，但在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们的参赛报名号为：题目：A题参赛队员(签名)队员1：队员2：队员3：日期：2011年5月1日题目：客机水面迫降时的姿态摘要为了研究客机因为失去动力而进行水面迫降的最好姿态，本文分析了客机从失去动力，到进入水面，水对其冲击力达到最大的这一过程中客机的运动状态及受力情况。重点研究了客机从接触水面到冲击力达到最大的这一过程，运用了动能定理，动量定理，及物体力学原理分析了客机的运动状态，得出水对客机的最大冲击力f和时间t与客机与水面所成角的函数关系，应用MATLAB软件作出图形，判断取14时f最小，从而得到客机迫降时与水面所成角为14时为客机水面迫降时的最佳姿态。关键词客机，迫降速度，俯仰角，最大冲击力ThepositionofaircraftlandingontheseaAbstract:Inordertoresearchthebestpositionofaircraftlandingontheseabecauseoflosingpower,thisarticleanalysetheaircraft’smovingstatusandtheforceswhenaircraftlosepowerandthencomeinthesea.Wefocusonresearchingthewholeprocessofaircraftlosingpowertocominginthesea.Intheairticle,weusetheKineticenergytheorem,MomentumTheoremandtheMechanicstoanalysethemovingstatusoftheaircraft.Accordinglywegetthemaximumimpactforce“f”,thetime“t”andtheangleofthesurfaceoftheseawiththeaircraft.WeuseMATLABsoftwaremaketheGraphicsandjudgethewhen“f”isminimum.Finally,wegetthebestpositionofaircraftlandingontheseawhen14.Keywords:Aircraft,Forcelandingspeed,Pitchangle,Maximumimpactforce1问题的重述大型客机因为失去动力而进行的迫降具有相当大的危险性。建立合理的数学模型，对客机在平静水面上的迫降进行分析，指出客机在河面上迫降时，以何种姿态接触水面是相对最好的选择。问题的分析飞机都由机翼、机身、尾翼、起落装置和动力装置五个主要部分组成：1.机翼——机翼的主要功用是产生升力；2.机身——机身的主要是用来装载；3.尾翼——尾翼包括水平尾翼和垂直尾翼；4.起落装置——作用是起飞、着陆滑跑，地面滑行和停放时支撑飞机。5.动力装置——动力装置主要用来产生拉力和推力，使飞机前进。客机在高空突然因为失去动力需进行迫降。客机有良好的水上迫降动态特性就是要求降落柔和，没有俯冲和跳跃，向前减速度不太大，撞击压力和滑行压力不太大。俯冲会对客机结构造成灾难性破坏，跳跃会使客机失去操纵，第二次着水也会对客机结构造成灾难性破坏。着水时向前减速度太大会直接伤害乘员，过大的撞击压力和滑行压力会引起飞机结构的严重损害。【1】客机水上迫降安全需要考虑两方面的因素：客机着水姿态和结构强度。通过水上迫降模型试验，可以给出客机允许的着水姿态，从而验证飞行器着水时不出现剧烈的“跳跃”、翻转等情况。在强度方面的指标是，在允许的着水姿态下，需要保证机身下部蒙皮不破裂，从而使得机舱在一定时间内不进水，以保证机身能够漂浮一段时间，为乘员安全撤离赢得足够时间。【2】此处，我们只对客机的着水姿态进行研究。根据文献【3】，客机以机尾先接触水面较机头先接触水面所受的冲击力要小。且考虑到发动机首先接触水面，会由于面积小不足以托住机身重量，紧接着发动机入水，此时受力就集中在发动机上，这样的强度能折断机翼，如果是一侧的的发动机先入水，因为水面的镜面效应就会发生急转弯，甚至导致机身解体。为保证客机迫降时的安全，本文选择客机以机尾先接触水面，且为了避免俯冲现象，起落架应该收起。客机机尾接触水面时，客机与水面所成角（俯仰角）即为所要求得的客机以最佳姿态接触水面的角度。客机机尾先接触水面，尾部首先受力后，尾部沿飞行方向的速度减小，飞机头部由于惯性前冲。随着客机尾部受到的冲击力瞬间达到最大值，飞机头部沿降落方向的速度也瞬间增大，机身下弯。在这两种作用共同影响下，机身长度变化出现振荡现象。随着客机飞行速度和降落速度的迅速减小，机身的变形也迅速恢复，机身长度变化恢复到最初值，随后机身长度变化没有明显的改变。另外，随着降落速度的增大，客机的最大变形程度增大。【4】为了模型建立的方便，此处不考虑客机机身结构的变化，假设其机身结构变化微小，忽略不计。客机进入水中时机尾先进入水中此时尾翼所受的冲击力最大（不能大于尾翼弹性模2量），接下来由于客机自身的惯性，客机会机头进入水中，此时发动机与机身承受最大冲击力（不能大于机身与发动机的弹性模量），接下来又由于客机受水的浮力与阻力还有客机的自身重力客机又会尾翼进入水中重复前面的运动，为了简化模型我们排除影响小的因素后，作如下分析。客机机尾先接触水面，进入水面很短时间后，水对客机的冲击力迅速增大达到最大，即为客机所能承受的外界最大冲击力。客机刚接触水面的瞬间，冲击力与速度的夹角大于90°，因而客机速度会减小，但由于速度减小，所以水对客机的阻力也会减小。另一方面，客机刚接触水面时，客机与水面的接触面积不大，但随着客机进入水中，接触面积增大，客机所受的浮力也增大，随着速度的减小，客机的加速度也减小，最后，当加速度和速度都为0时，客机就静止。以上分析了客机从机尾接触水面到最终速度减至0的情况。经过以上分析初步可推测，客机刚接触水面时客机与水面所成的角与最大冲击力有关，以下则需研究客机刚接触水面时客机与水面所成角与最大冲击力的函数关系。让飞机机尾先入水此时飞机所受的冲击力较小，飞机若以合适的角度入水时，此时的最大冲击力比客机所能承受的力较小即为安全迫降。此时，我们希望求得一个的最优值。模型假设1、不考虑天气因素的影响，空气气流稳定，空中无任何障碍物。河面无障碍物，且河面足够宽，即天气和海情状况良好。2、不考虑飞行员反应时间，飞行员具有良好的心理素质与标准操作技术。3、客机可控，能以合适的姿态和速度接水，没有俯冲或跳跃，机体结构保持完好。飞机各系统已按水上应急迫降程序进行了处理。4、迫降过程中客机不发生滚转和侧滑。5、根据参考文献，可知机尾先进入水中时冲击力较小。假设客机机尾先接触水面。6、飞机进入水面后，不考虑水的浮力对飞机的影响。7、整个运动过程中客机的重力、重心保持不变，重力加速度不变数值取为10，在对客机进行受力分析时，将客机抽象为一个质点。8、客机从接触水面到静止只考虑一个过程：从接触水面到达到最大冲击力的过程。9、不考虑客机机身长度微型变化对模型的影响。10、客机进入水中后，河水不会灌入客机内。3基本变量、符号和用语的说明客机质量m客机重力G客机与水面所成的夹角水对客机的冲击力f客机在刚接触水面到水对客机冲击力达到最大时所需的时间1t客机机尾刚接触水面时竖直方向的速度0v客机达到最大冲击力时竖直方向上的速度1v客机从接触水面至水对客机冲击力达到最大的吃水深度h表一模型的建立和求解飞机迫降到水面的过程示意图：图一4图二图三（1）（2）（3）5根据对问题的分析，忽略浮力对客机的影响，客机进入水面后受力的情况为：图四客机进入水中后又以下关系式：fGV0vxY水面空气)4......()cos(21)3)......(,0()2......(2121)cos()1......(*)cos(201012021001t01tmfGtvhttdtdhvvmvmvhfGmvmvtfGh据动能定理有：据冲量定理有：cos*2mcos21242)8()9.....(3)(2187)8)......((21)5/()6()7......(3)6......(2121)cos(2)5......()cos(1000010101010111012021011tmvGtftfGvvvthvvvvvvvvththvvmvmvhfGmvmvtfG解得：）（）得：代入（得故解得：）得：）代入（将（得：）得：由（）得：由（）得：由（求解：6常见的客机机型重量m数据：表二本文中，只选择A320机型进行分析。即m=68000，G=680000.飞机各部分体积机身机翼（两个）尾翼（垂直尾翼、两个水平尾翼）发动机（两个）921.13m475.53m18.83m31.63m表三飞机各部分弹性模量机身机翼尾翼发动机平均截面积S/2m16.67.532.853.8弹性模量E/Pa2.3*7105.1*8101.3*9101.9*910表四客机进入水中时，机尾先进入水中此时尾翼所受的冲击力最大，要保证安全，则水对客机的最大冲击不能大于尾翼弹性模量。据文献【3】，客机降落至水面的速度为25m/s.考虑到方向，即f的矢量性，用MATLAB作出cos*-20tGtmvf的图像,分析图像的变化趋势。机型空机重量最大起飞重量（KG）A32041310千克68000千克A30089445千克165000千克A330118511千克212000千克MD9036968千克51710千克B73731479千克56472千克B747180985千克362875千克B75757180千克104325千克B76787135千克156489千克B777135580千克229520千克7图五据文献【5】，图六原点位于机头顶点，x轴平行于水面指向尾部，y轴位于客机对称面内铅垂向上，z轴由右手坐标系确定。8客机水上迫降过程中可取客机加速度随时间变化的表达式为：11122213232233111222132322330,0(),(),()0,0,0(),(),()0,xyttmtttttattmtttttttttttmtttttattmttttttttt其中，1t为客机着水时刻，2t为加速度线性增加的结束时刻，3t为加速度减小到零的时刻，mn和分别为表征纵向（x方向）和法向（y方向）加速度线性增加幅度的特征值。速度随时间变化的表达式如下：其中，0uv0和分别为客机接触水面初始时刻的纵向速度和法向速度。3t时刻加速度和速度同时减小到零，即客机静止。本文共研究了6个俯仰角对客机水上迫降性能的影响，分别是：6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16dtavvdtauutytx00009故由MATLAB绘制出纵向加速度随时间的变化关系如下：纵向加速度图七法向加速度随时间的变化关系如下：法向加速度图八10客机水上迫降过程中，客机表面的冲击压力峰值随时间变化的曲线如图：图九当客机高速着水后，受到水体的强烈冲击，压力峰值迅速增加，在t=0.5s时刻达到最大值，然后开始缓慢降低。对于给定的俯仰角，水上迫降过程中客机便面的冲击压