粘性流体运动微分方程

1§4.6粘性流体运动微分方程一、粘性流体的动压强1理想流体理想流体因无粘滞性，运动时不出现切应力，只有法向应力，即动压强用类似分析流体静压强特性的方法，便可证明任一点动压强的大小与作用面的方位无关，是空间坐标和时间变量的函数),,,(tzyxppzzyyxxppp2粘性流体粘性流体的应力状态和理想流体不同，由于粘性作用，运动时出现切应力，使任一点法向应力的大小，与作用面的方位有关2二、以应力表示的粘性流体运动微分方程dzdxdy'yz'yxp'yyxzxypxxzxzypzz'xy'xzp'xxyzyxpyy'zy’zxp'zzxyz以x方向为例（牛顿第二运动定律）dtduzzxzxyyxyxxpxxxxxzxyxxxdxdydzdxdydzdxdydxdzdydxdzdydzdxpdydzpdxdydzX])([])([])([脚标1—作用面的外法线方向脚标2—示应力的方向3化简后得dtduzyxpXxzxyxxx11x方向dtduxzypYyxyzyyy11y方向z方向dtduyxzpZzyzxzzz119个应力，3个速度分量，共12个未知数3个方程加上连续性方程，共4个方程无法求解4三、应力与变形速度的关系粘性流体的应力与变形速度有关，其中法向应力与线变形速度有关，切应力则与角变形速度有关流动中某点的动压强是过该点三个相互正交平面上法向应力的平均值，同某一平面上的法向应力有一定差值，称为附加法向应力，它是流体微团在法线方向上发生线变形（伸长或缩短）引起的'2'2'2xxxxxyyyyyzzzzzuppppxuppppyuppppz52、法向应力和线变形速度的关系zuppppyuppppxuppppztzztzzytyytyyxtxxtxx2'2'2'pt——理想流体压强理想流体中，同一点各方向的法向应力相等pxx=pyy=pzz=pt粘性流体中，任意点的动压强p是过该点三个相互正交平面上法向应力的平均值。zuyuxuzyx32p)pp(p31ptzzyyxx对于不可压缩粘性流体p=pt补充了3个方程，多一个未知数ptdivu=06切应力与角变形速度的关系，在简单剪切流动中符合牛顿内摩擦定律将牛顿内摩擦定律推广到一般空间流动，得出dyduyzyzzyxzzxxzyxxyyxuuyzuuzxuuxy广义牛顿内摩擦定律补充了6个方程7四、不可压缩粘性流体运动微分方程222111xxxxxxyzyyyyyxyzzzzzzxyzuuuupXuuuuxtxyzuuuupYuuuuytxyzuuuupZuuuuztxyz自1755年欧拉提出理想流体运动微分方程以来，法国工程师纳维Navier1827、英国数学家斯托克斯Stokes1845等经近百年的研究，最终完成上述形式的粘性流体运动微分方程，称为纳维一斯托克斯方程（N-S方程）二阶非线性非齐次偏微分方程组8N-S方程表示作用在单位质量流体上的质量力、表面力（压力和粘性力）和惯性力相平衡N-S方程和连续性微分方程——4个方程未知量ux，uy，uz和p——四个理论上可以求解速度场、压强场，即粘性流体的运动分析，最终都归结为对N-S方程的研究222111xxxxxxyzyyyyyxyzzzzzzxyzuuuupXuuuuxtxyzuuuupYuuuuytxyzuuuupZuuuuztxyz