量子力学试题含答案

共7页第1页20082009郑州大学物理工程学院电子科学与技术专业光电子方向量子力学试题（A卷）（说明：考试时间120分钟，共6页，满分100分）计分人：复查人：一、填空题：（每题4分，共40分）得分评卷人1.微观粒子具有波粒二象性。2．德布罗意关系是粒子能量E、动量P与频率、波长之间的关系，其表达式为：E=h,p=/h。3．根据波函数的统计解释，dxtx2),(的物理意义为：粒子在x—dx范围内的几率。4．量子力学中力学量用厄米算符表示。5．坐标的x分量算符和动量的x分量算符xp的对易关系为：,xpi。6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数(x)所描写的状态时，测量某力学量F所得的数值，必定是算符Fˆ的本征值。7．定态波函数的形式为：tEinnextx)(),(。8．一个力学量A为守恒量的条件是：A不显含时间，且与哈密顿算符对易。9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的________。10．每个电子具有自旋角动量S，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为：2。题号一二三总分得分共7页第2页二、证明题：（每题10分，共20分）得分评卷人1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：证明：zyxLiLLˆ]ˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[zxyzyxpxpzpzpyLL]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[zxyzxzpxpzpzpxpzpy]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[zyxyzzxzpxpzpzpzpxpypzpy]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[zyxzpxpzpzpyyzzyzxxzppxzpxpzppzypzpyˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[yzxzppxzpzpyˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[yzyzxzxzppxzppzxpzpyppyzˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[yxpixpiyˆ)(ˆ)(]ˆˆ[xypypxizLiˆ共7页第3页2、（10分）由Schrödinger方程证明几率守恒：其中几率密度几率流密度证明：考虑Schrödinger方程及其共轭式：在空间闭区域τ中将上式积分，则有：2|),(|),(),(),(trtrtrtr22(,)[()](,)2irtVrrtt0Jt][2iJ22[](1)2iVt22[](2)2iVt(1)(2)将式得：][2222titi][22）（tidddtdi][22）（diddtd][2）（dJdtrdtd),(0Jt共7页第4页三、计算题：（共40分）得分评卷人1、（10分）设氢原子处于状态),()(23),()(21),,(11211021YrRYrRr求氢原子能量E、角动量平方L2、角动量Z分量LZ的可能值及这些可能值出现的几率。解：在此状态中，氢原子能量有确定值22222282sseneE)2(n，几率为1角动量平方有确定值为2222)1(L)1(，几率为1角动量Z分量的可能值为01ZL2ZL其相应的几率分别为41，43共7页第5页2、（10分）求角动量z分量的本征值和本征函数。解：波函数单值条件，要求当φ转过2π角回到原位时波函数值相等，即：求归一化系数最后，得Lz的本征函数ˆzdLid2112||2202220ccdcd,2,1,021)(memlimmz归一化系数。是积分常数，亦可看成其中解得：ccelddiLzilzz)()()()(ˆ)2()()2(zizillcece12zile,2,1,022mmlz于是,2,1,0mmlz共7页第6页3、（20分）某量子体系Hamilton量的矩阵形式为：设c1，应用微扰论求H本征值到二级近似。解：c1，可取0级和微扰Hamilton量分别为：H0是对角矩阵，是HamiltonH0在自身表象中的形式。所以能量的0级近似为：E1(0)=1E2(0)=3E3(0)=-2由非简并微扰公式得能量一级修正：能量二级修正为：cccHH0000002000300010)0()0(2)2()1(||knknnknnnnEEHEHEcHEHEHE33)1(322)1(211)1(100221)0(3)0(1231)0(2)0(1221)0()0(121)2(1||||||cEEHEEHEEHEkknk2000301cccH共7页第7页二级近似下能量本征值为：221)0(3)0(2232)0(1)0(2212)0()0(222)2(2||||||cEEHEEHEEHEkknk0||||||)0(2)0(3223)0(1)0(3213)0()0(323)2(3EEHEEHEEHEkknkcEcEcE231322122211