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数字信号处理习题集周治国2016.11第三章离散傅里叶变换(DFT)1．DFT的定义与性质2．频域取样3．DFT应用中的问题与参数选择4．DFT与Z变换的关系考核范围：第四章快速傅里叶变换（FFT）1．提高DFT运算效率的基本途径2．基-2FFT算法3．N为复合数的FFT算法4．分裂基FFT算法5．实序列的FFT算法6．FFT的应用考核范围：第五章数字滤波器1．数字滤波器的基本结构2．无限冲激响应（IIR）数字滤波器设计3．有限冲激响应（FIR）数字滤波器设计考核范围：第三章离散傅里叶变换(DFT)1．DFT的计算及其性质（含性质的证明）；2．线性卷积、周期卷积、圆周卷积的定义、计算及三者关系；3．DFT计算连续时间信号、离散时间信号频谱（逼近的原理和方法、存在的问题及解决办法）；考核重点：第四章快速傅里叶变换（FFT）1．基-2DIT/DIFFFT算法原理与蝶形运算公式推导、算法特点及16点以内算法流图；2．分裂基L型运算的公式及8点以内算法流图（推导过程不作为重点）；3．复合数FFT和基-4FFT算法原理（推导过程不作为重点）；4．实序列的FFT算法5．FFT的应用（快速卷积和快速相关）考核重点：第五章数字滤波器1．数字滤波器的基本结构2．IIR数字滤波器设计：巴特沃斯低通数字滤波器设计（含脉冲响应不变变换法和双线性变换法，及两种变换方法的特点）3.FIR线性相位滤波器的特点（频率响应及零点位置，重点掌握情况1）4．FIR数字滤波器设计：低通、高通、带通、带阻数字滤波器设计（含窗函数法和I型频率取样法）考核重点：1、圆周移位、线性卷积、周期卷积、圆周卷积圆周移位计算，习题集：P38-45663365577(){1,1,3,2}()(())()(())()()(())()()(())()((3))()()(())()xnaxnbxnRncxnRndxnexnRnfxnRn=---已知序列，画出0123451132()xn012345113205(())xn延拓…1132011320…012345102315(())xn-反转…1023110231…5663365577(){1,1,3,2}()(())()(())()()(())()()(())()((3))()()(())()xnaxnbxnRncxnRndxnexnRnfxnRn=---已知序列，画出(a)0123451132()xn01234511323(())xn延拓113211320123453135663365577(){1,1,3,2}()(())()(())()()(())()()(())()((3))()()(())()xnaxnbxnRncxnRndxnexnRnfxnRn=---已知序列，画出(c)1132……1132313……31301234531333(())()xnRn结合后面讲到的线性卷积和圆周卷积关系来理解重叠。圆周卷积计算方法小结：1，哑元坐标2，周期延拓3，反转4，周期移位，相乘相加历年考试真题55(){0,1,2,1,0}(){0,1,0,1,0}()()((2))()()()()()()()unvnaxnunRnbunvncunvn===-已知两个时间序列和画出的图形求序列和的线性卷积求序列和的5点圆周卷积55(){0,1,2,1,0}(){0,1,0,1,0}()()((2))()unvnaxnunRn===-已知两个时间序列和画出的图形01234501210()un012345012105(())un延拓…0121001210…012345001215(())un-反转…0012100121…012345001215((2))un-移位…0012100121…(){0,1,2,1,0}(){0,1,0,1,0}()()()unvnbunvn==已知两个时间序列和求序列和的线性卷积01210()um01010()vm01010()vm-0123450101001010010100101001010010100101001010(1)vm-(2)vm-(3)vm-(4)vm-(5)vm-(6)vm-(7)vm-(8)vm-001222100(){0,1,2,1,0}(){0,1,0,1,0}()()()unvncunvn==已知两个时间序列和求序列和的5点圆周卷积0101001210…0101001010…01210……012105(())um5(())vm5(())vm-5((1))vm-5((2))vm-5((3))vm-5((4))vm-2112200101…0010100101…00101…0010100101…00101…0010100101…00101…0010100101…00101…0010100101…012345012345001222100(){0,1,2,1,0}(){0,1,0,1,0}()()()unvncunvn==已知两个时间序列和求序列和的5点圆周卷积5(())um5(())vm5(())vm-5((1))vm-5((2))vm-5((3))vm-5((4))vm-2112221122012345001222100012345001222100012345001222100掌握将L点线性卷积转化为N点圆周卷积的方法。和前面讲到的圆周移位计算(习题集P38-4第(c)问)结合理解。()()()()()()()()()()()()()()44{102,22,22,22}()()()()21()()()()()()cnunjvnDFTCkjjjjunvnaunvnDFTbxnunRnynvnRncunvndFFTunvn=+=+-+-+--=-=-已知4点复序列的为和为两个实序列求序列和的4点求序列和求序列和5点圆周卷积，与线性卷积哪些值结果相同，并说明原因；写出利用求序列和线性卷积的步骤；()()()()()()()()()()()()()()()(){}()(){}()1{102,22,22,22}4{102,22,22,22}DFT{}12121()410,22,2,2221()42,0,2,02{1,2,3,4}CkjjjjCkjjjjcnCNkcnunjvnuncncnvncncnjUkCkCkjjVkCkCkun*******=+-+-+---=--+----=-=+⎡⎤=+⎣⎦⎡⎤=-⎣⎦⎧⎡⎤=+-=-+---⎪⎣⎦⎪⇒⎨⎪⎡⎤=--=⎣⎦⎪⎩=⇒Q(){1,0,1,0}vn⎧⎪⎨=⎪⎩()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()44555522{3,2,1,4}1{0,1,0,1}3{1,2,3,4,0}{1,0,1,0,0}{5,2,4,6,3}{1,2,4,6,3,4,0}xnunRnxnynvnRnynunRnvnRnunRnvnRnunvn=-⇒==-⇒===⇒=*=e5历年考试真题()()()()LFFTxnynab设有长度分别为12和21的两个因果序列和，若分别作二者的线性卷积和=21点的循环卷积试问循环卷积结果中那些序列值与线性卷积的结果相同如果要用计算两序列的线性卷积，试给出相应的方法步骤参考P12215已知4点序列x(n)的z变换X(z)在z平面上0.25，0.25j，-0.25和-0.25j四点处的值均是1求：1，x(n)的4点DFT值X(k)；2，若想进一步通过DFT计算考察x(n)的DTFT谱在频率5π/16处的值，有什么可行的方法？写出该方法的具体思想和步骤。()(){}{}{}{}{}{}{}{}24240.25233400()1,1,1,1,0,1,2,3()0.25()0.25=DFT()0.251,1,1,1()()0.25IDFT1,1,1,11,0,0,0()1,0,0,0DFT()1,1,1,1jkjknzenjknnnnnXzzkxnexnexnZkxnxnxnppp-=--==--===⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎣⎦==∴==⇒=⇒=∑∑解：1根据题意2553216wpp==(2)补零至32点序列，其DFT值在k=5时对应着历年考试真题(){}1111xnDFT=--求序列的2、DFT计算、证明、性质(){}(){}()()()()()()()()()()222123444402234411111111()01231100;1024;30DFTNjkjkjkknnjkjkkxnDFTxnXkxnWxxexexeeeXXXXppppp----=--=--=--==+++=-+--⇒====∑求序列的解：补充：可以用性质五、六、十一加以校验。历年考试真题()()()sin2cos4,01ynnNnNnNDFTpp=+≤≤-求序列的2、DFT计算、证明、性质()()()()()()22442222(1)2(2)21100sin2cos4,01sin2cos41122112211()()1jnjnjnjnNNNNjnjNnjnjNnNNNNNNjknknNNkkynnNnNnNDFTynnNnNeeeejeeeejYKWYKeNNYNppppppppppppp-------===+≤≤-=+⎛⎞⎛⎞=-++⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎛⎞⎛⎞=-++⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠===∑∑求序列的解：()()()()()()()()()()2222(1)2(2)2222222(1)(1)222222(2)(2)11221111221111211221122jnjNnjnjNnNNNNjnjnjnjnNNNNjNnjNnjNNjnjnNNjNnjNnNNeYNeYeYNeNYeeYeeNjjYNeeYNeNjYeeNYNeeNppppppppppppppp------⎛⎞+-++-⎜⎟⎝⎠⎧==⎪⎪⎪-=--⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎪⎪-=⎪⎩()()2(1)(1)222222(2)(2)22222NnjNnNNjnjnNNjNnjNnNNNejNYeeNYNeeppppp----⎧⎪⎪⎪=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎪⎪-=⎪⎩展开()()()()2222(1)(1)222222(2)(2)1(1),1221(1),122(2),2222(2),2222()0jnjnNNjNnjNnNNjnjnNNjNnjNnNNNNYeeYkjjNNYNeeYNkNjjNNYkYeeNNYNkNYNeekYkpppppppp----⎧⎧===⎪⎪⎪⎪⎪⎪-=--=-=-⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪===⎪⎪⎪⎪⎪⎪-==--=⎪⎪⎩⎩=由比较法可得：取其他值时，()()1,0,1,,1;xnnNxnDFT==-L求序列的2、DFT计算、证明、性质()()()()211200'2201,0,1,,111()1110,01,0kNjkNNknknNNNkjknnNNjkjkNkxnnNDFTWeXkxn==--===---====--⎛⎞-⎜⎟===⎜⎟-⎝⎠==∑∑L求序列的解：时其他时等比数列历年考试真题()()1,0,2,4,,2;0,1,3,5,,1;nNxnnNNxnDFT=-⎧=⎨=-⎩LL为偶数求序列的2、DFT计算、证明、性质()()()/221/21/2/2200/2/2'22/2022/21,0,2,4,,2;0,1,3,5,,1;11()1110,0211,221kNjkNNknkmNNNkjknmNNjkjkNkjkjkNnNxnDFTnNWeXkxn==--=--=-⎧=⎨=-⎩--====--⎛⎞-⎜⎟===⎜⎟-⎝⎠⎛-⎛⎞⎜==⎜⎟⎜⎝⎠-⎝∑∑LL求序列的解：时时()'22,0NkNkXk=⎞⎟=⎟⎠==其他时历年考试真题—3P90()()(),()()()()xnNxnxNnxnNDFTXkXkXNk=--=--设是一列长为的奇对称因果序列，即试证明:的点序列也是一个奇对称序列，即03B(05-06)2、DFT计算、证明、性质P71