向量与空间解析几何

1第九章空间解析几何一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1．理解空间直角坐标系的概念,掌握两点间的距离公式.2．理解向量的概念、向量的模、单位向量、零向量与向量的方向角、方向余弦概念.3．理解向量的加法、数乘、数量积与向量积的概念.4．理解基本单位向量，熟练掌握向量的坐标表示，熟练掌握用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘、数量积与向量积的运算.5．理解平面的点法式方程和空间直线的点向式方程（标准方程）、参数方程，了解平面和空间直线的一般式方程.6．理解曲面及其方程的关系，知道球面、柱面和旋转曲面的概念，掌握球面、以坐标轴为旋转轴、准线在坐标面上的旋转曲面及以坐标轴为轴的圆柱面和圆锥面的方程及其图形.7．了解空间曲线及其方程，会求空间曲线在坐标面内的投影.8．了解椭球面、椭圆抛物面等二次曲面的标准方程及其图形.重点向量的概念，向量的加法、数乘、数量积与向量积的概念，用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘、数量积与向量积的运算，平面的点法式方程，空间直线的标准式方程和参数方程，球面、以坐标轴为轴的圆柱面和圆锥面方程及其图形，空间曲线在坐标面内的投影.难点向量的概念，向量的数量积与向量积的概念与计算，利用向量的数量积与向量积去建立平面方程与空间直线方程的方法，利用曲面的方程画出空间图形.（二）内容提要1.空间直角坐标系在空间,使三条数轴相互垂直且相交于一点O，这三条数轴分别称为x轴、y轴和z轴，一般是把轴轴和yx放置在水平面上，z轴垂直于水平面.z轴的正向按下述法则规定如下：伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x轴的正向，然后让四指沿握拳方向旋转900指向y轴的正向，这时大拇指所指的方向就是z轴的正向(该法则称为右手法则).这样就组成了右手空间直角坐标系Oxyz.在此空间直角坐标系中，x轴称为横轴，y轴称为纵轴，z轴称为竖轴，O称为坐标原点;每两轴所确定的平面称为坐标平面，简称坐标面.x轴与y轴所确定的坐标面称为xOy坐标面，类似地有yOz坐标面，zOx坐标面。这些坐标面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦限.在空间直角坐标系中建立了空间的一点M与一组有序数),,(zyx之间的一一对应关系。有序数组),,(zyx称为点M的坐标；zyx,,分别称为x坐标，y坐标，z坐标.2.向量的基本概念⑴向量的定义既有大小，又有方向的量，称为向量或矢量．⑵向量的模向量的大小称为向量的模，用a或AB表示向量的模．2⑶单位向量模为1的向量称为单位向量．⑷零向量模为０的向量称为零向量，零向量的方向是任意的.⑸向量的相等大小相等且方向相同的向量称为相等的向量.⑹自由向量在空间任意地平行移动后不变的向量,称为自由向量.⑺向径终点为P的向量OP称为点P的向径,记为OP.3.向量的线性运算⑴向量的加法①三角形法则若将向量a的终点与向量b的起点放在一起，则以a的起点为起点，以b的终点为终点的向量称为向量a与b的和向量，记为ba.这种求向量和的方法称为向量加法的三角形法则.②平行四边形法则将两个向量a和b的起点放在一起，并以a和b为邻边作平行四边形，则从起点到对角顶点的向量称为ba.这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则.向量的加法满足下列运算律.交换律：ba=ab；结合律：（ba）+c=a+（b+c）.⑵向量与数的乘法运算实数与向量a的乘积是一个向量，称为向量a与数的乘积，记作a，并且规定：①aa；②当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反；③当0时，a是零向量.设,都是实数，向量与数的乘法满足下列运算律：结合律：)(a)()(aa；分配律：aaa)(,(a+b)=a+b.向量的加法运算和向量与数的乘法运算统称为向量的线性运算.⑶求与a同向的单位向量的方法设向量a是一个非零向量，则与a同向的单位向量aaae.⑷负向量当1时，记(-1)a=-a，则-a与a的方向相反，模相等，-a称为向量a的负向量.⑸向量的减法两向量的减法（即向量的差）规定为a-b=a+(-1)b.向量的减法也可按三角形法则进行，只要把a与b的起点放在一起，a-b即是以b的终点为起点，以a的终点为终点的向量.4.向量的坐标表示⑴基本单位向量i,j,k分别为与x轴,y轴,z轴同向的单位向量.⑵向径的坐标表示点),,(321aaaP的向径OP的坐标表达式为OP=kji321aaa3或简记为OP=},,{321aaa.⑶21MM的坐标表示设以),,(1111zyxM为起点,以),,(2222zyxM为终点的向21MM的坐标表达式为21MM=kji)()()(121212zzyyxx.⑷向量kjia321aaa的模a=232221aaa.5.坐标表示下的向量的线性运算设kjia321aaa，kjib321bbb，则有（1）kji)()()(332211babababa；（2）kji)()()(332211babababa；（3）kjikji321321)(aaaaaaa.6.向量的数量积⑴定义设向量ba,之间的夹角为)π0(，则称abcos为向量ba与的数量积，记作a·b，即a·b=abcos.向量的数量积又称“点积”或“内积”.向量的数量积还满足下列运算律:交换律：a·b=b·a；分配律：(a+b)·c=a·c+b·c；结合律：(a·b)=(a)·b)(为常数其中.⑵数量积的坐标表示设kjia321aaa，kjib321bbb,则a·b=332211bababa.⑶向量a与b的夹角余弦设kjia321aaa，kjib321bbb,则babacos=232221232221332211bbbaaabababa)π0(.⑷向量的方向余弦设向量kjia321aaa与x轴,y轴,z轴的正向夹角分别为)π,,0(,,,称其为向量a的三个方向角，并称cos,cos,cos为a的方4向余弦，向量a的方向余弦的坐标表示为232221323222122322211cos,cos,cosaaaaaaaaaaaa，且1coscoscos222.7．向量的向量积⑴定义两个向量a与b的向量积是一个向量，记作a×b，它的模和方向分别规定如下：①a×b=absin的夹角与是向量其中ba；②a×b的方向为既垂直于a又垂直于b，并且按顺序a,b,a×b符合右手法则.向量的向量积满足如下运算律.反交换律：a×b=-b×a；分配律：(a+b)×c=a×c+b×c；结合律：(a×b)=(a)×b=a×(b))(为常数其中.⑵向量积的坐标表示设kjia321aaa，kjib321bbb，则a×b=kji)()()(122113312332babababababa.可将a×b表示成一个三阶行列式的形式，计算时，只需将其按第一行展开即可.即a×b=321321bbbaaakji.8.三个重要结论⑴ba332211,,bababa;⑵a⊥bba00332211bababa;⑶a∥ba=b332211bababa0ba.其中，“”表示“充分必要条件”．９.平面方程⑴平面的点法式方程如果一非零向量n垂直于平面，则称此向量为该平面的法向量.过点),,(0000zyxM，以n=CBA,,为法向量的点法式平面方程为CBAzzCyyBxxA,,(0)()()(000至少有一个不为零）.⑵平面的一般式方程以n=CBA,,为法向量的一般式平面方程为50DCzByAxCBA,,(至少有一个不为零）.⑶两个平面的位置关系设两个平面21与的方程分别为,0:,0:2222211111DzCyBxADzCyBxA其法向量分别为1n=},,{111CBA，2n=},,{222CBA，有如下结论：①211n⊥2n;0212121CCBBAA②1∥21n∥2n21212121DDCCBBAA；③2121212121DDCCBBAA重合与.（4）平面21与的夹角，即为两个平面法向量夹角，其公式为2121cosnnnn=)2π0(222222212121212121CBACBACCBBAA.（5）点),,(1111zyxP到平面0DCzByAx的距离公式为222111CBADCzByAxd.10.直线方程⑴如果一个非零向量s平行于直线L,则称s为直线L的方向向量.⑵直线的标准式方程设直线L过点),,(0000zyxM且以s},,{cba为方向向量,则直线L的标准式方程(也称为点向式方程)为czzbyyaxx000.⑶直线的参数方程设直线L过点),,(0000zyxM且以},,{cbas为方向向量,则直线L的参数方程为,,,000ctzzbtyyatxx其中t为参数.⑷直线的一般式方程若直线L作为平面01111DzCyBxA和平面602222DzCyBxA的交线，则该直线L的一般式方程为,0,022221111DZCyBxADzCyBxA其中{111,,CBA}与{222,,CBA}不成比例.⑸两条直线的位置关系设直线21LL与的标准方程分别为,:,:22222221111111czzbyyaxxLczzbyyaxxL其方向向量分别为1s},,,{111cba2s},,,{111cba则有①21//LL1s∥2s212121ccbbaa；②1L⊥2L1s⊥2s0212121ccbbaa.11．直线与平面的位置关系直线与它在平面上的投影线间的夹角2π0，称为直线与平面的夹角.设直线πL和平面的方程分别为,0:,:000DCZByAxczzbyyaxxL则直线L的方向向量为},,{cbas，平面的法向量为},,{CBAn，向量s与向量n间的夹角为，于是2π2π或,所以cossin=nsns=222222CBAcbacCbBaA.由此可知：1∥21L⊥2L1s⊥2s.①内在πLs⊥n)0(cCbBaA或,),,(0000上既在且LzyxM又7内在;②L∥s⊥n而不上在）且或,),,(0(0000LzyxMcCbBaA内在;③Ls∥nCcBbAa.12.曲面方程如果曲面∑上每一点的坐标都满足方程0),,(zyxF，而不在曲面∑上的每一点坐标都不满足方程0),,(zyxF，则称方程0),,(zyxF为曲面方程，称曲面∑为0),,(zyxF的图形.13.柱面直线L沿定曲线C平行移动所形成的曲面称为柱面.定曲线C称为柱面的准线，动直线L称为柱面的母线.如果柱面的准线C在xOy坐标面上的方程为0),(yxf,那么以C为准线，母线平行于z轴的柱面方程就是0),(yxf；同样地，方程0),(zyg表示母线平行于x轴的柱面方程；方程0),(zxh表示母线平行于y轴的柱面方程.一般地，在空间直角坐标系中，含有两个变量的方程就是柱面方程，且在其方程中缺哪个变量，此柱面的母线就平行于哪一个坐标轴.例如，方程02,1,1222222222pyxbyaxbyax分别表示母线平行于z轴的椭圆柱面、双曲柱面和抛物柱面.14.旋转曲面⑴定义一平面曲线C绕与其在同一平面上的直线L旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面，曲线C称为旋转曲面的母线，直线L称为旋转曲面的轴.⑵母线在坐标面上，绕某个坐标轴旋转所形成的旋转曲面设在yOz坐标面上有一条已知曲线C，它在yOz坐标面上的方程是0),(