高中数学线性规划经典题型

1高考线性规划归类解析一、平面区域和约束条件对应关系。例1、已知双曲线224xy的两条渐近线与直线3x围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（）(A)0003xyxyx(B)0003xyxyx(C)0003xyxyx(D)0003xyxyx解析：双曲线224xy的两条渐近线方程为yx，与直线3x围成一个三角形区域（如图4所示）时有0003xyxyx。点评：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。例2：在平面直角坐标系中，不等式组20200xyxyy表示的平面区域的面积是（）(A)42(B)4(C)22(D)2解析：如图６，作出可行域，易知不等式组20200xyxyy表示的平面区域是一个三角形。容易求三角形的三个顶点坐标为Ａ（０，２），B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为：11||||424.22SBCAO从而选Ｂ。点评：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键。二、已知线性约束条件，探求线性截距——加减的形式(非线性距离——平方的形式，斜率——商的形式)目标关系最值问题（重点）例3、设变量x、y满足约束条件1122yxyxyx，则①yx32的最大值为。（截距）解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z最大值为18点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。②则22xy的最小值是.③1yx的取值范围是.图1书、112三、含参问题：（较难）①约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。例4、在约束条件0024xyyxsyx下，当35s时，目标函数32zxy的最大值的变化范围是（）A.[6,15]B.[7,15]C.[6,8]D.[7,8]解析：画出可行域如图3所示,当34s时,目标函数32zxy在(4,24)Bss处取得最大值,即max3(4)2(24)4[7,8)zsss;当45s时,目标函数32zxy在点(0,4)E处取得最大值,即max30248z,故[7,8]z,从而选D;点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z关于S的函数关系是求解的关键。②已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。例5已知变量x，y满足约束条件1422xyxy。若目标函数zaxy（其中0a）仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为。解析：如图5作出可行域，由zaxyyaxz其表示为斜率为a，纵截距为ｚ的平行直线系,要使目标函数zaxy（其中0a）仅在点(3,1)处取得最大值。则直线yaxz过Ａ点且在直线4,3xyx（不含界线）之间。即11.aa则a的取值范围为(1,)。点评：本题通过作出可行域，在挖掘az与的几何意义的条件下，借助用数形结合利用各直线间的斜率变化关系，建立满足题设条件的a的不等式组即可求解。求解本题需要较强的基本功，同时对几何动态问题的能力要求较高。四、线性规划中的整点最优解问题（附近．．的点只的是上下左右．．．．．．．．．）例6、某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件.112,932,22115xyxyx则1010zxy的最大值是(A)80(B)85(C)90(D)95解析：如图７，作出可行域，由101010zzxyyx，它表示为斜率为1，纵截距为10z的平行直线系,要使1010zxy最得最大值。当直线1010zxy通过119(,)22Az取得最大值。因为,xyN，故Ａ点不是最优整数解。于是考虑可行域内Ａ点附近．．整点Ｂ（５，４），Ｃ（４，４），经检验直线经过Ｂ点时，max90.Z点评：在解决简单线性规划中的最优整数解时，可在去掉限制条件求得的最优解的基础上，调整优解法，通过分类讨论获得最优整数解。C