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第1页安徽工程大学数学建模（选修课）课程论文题目：拥挤问题摘要本文研究安徽工程大学学生餐厅用餐拥挤问题,通过10月28.29日两天用餐时间内对我校食堂进行调查。通过对数据的分析建立了以分析队列长度的变化的概率统计分布模型，并且得到了初步的结果。（1）、对于问题一,通过连续两天同一时间同一地点得到了与实际情况大致相符的所需数据。（2）、对于问题二,根据自己亲身经历与观察,调查数据得出课程表的安排等诸多原因造成了就餐高峰期拥挤排长队现象，最后建立简化模型分析了拥挤程度问题，并提出解决方法。还分析了学生的用餐心态,根据数据变化分析估计队伍长度与服务时间和单位时间内服务人数的关系,以及各餐厅大门不同进餐人数和窗口等待人数关系,得出最适合进餐时间及窗口分配问题解决方案。关键词：学生食堂；就餐过程；排队；拥挤度第2页队员1：王辉土木工程1023100105204队员2：张艳土木工程1023100105214指导老师：周老师成绩：.完成日期：2012.11.7第3页一、问题重述食堂用餐时常常会有拥挤不堪的现象发生。卖饭菜窗口因拥挤会时有碰撞并打翻饭菜的事情发生，严重时还会引起吵嘴打架，导致用餐者用餐时间过长。这种现象在某些地方特别是学校、工厂等人员众多的单位食堂较为普遍。为了解决这个问题，有关管理部门也想过许多办法，主要是增加窗口和工作人员，这又会导致成本的增加,从而引起饭菜价格的增加，这对用餐者是不利的。为此，我们希望在不增加服务工作人员的情况下制定出缩短用餐时间、減少排长队现象的办法。重点解决以下几个问题：（1）了解本校食堂买饭菜的问题的情况，并对实际情况进行调查、收集有关的数据(要注明调查的时间和地点)；（2）分析造成拥挤、用餐时间过长、排长队等现象的原因；（3）根据你所了解的情况，建立适当的数学模型，并据此提出解决（2）中问题的办法。二、模型假设1、由于在周六周日的餐厅就餐人数比较少，对于拥挤情况只考虑周一至周五的情况。通过对课表的研究，可以假设每天的人数是固定的，又由于长期习惯作用的结果可认为到某个餐厅就餐的人数是稳定的。2、餐厅服务遵守先到先服务的原则。3、对于我校餐厅座位已足够多时，可认为某个同学买完饭都有座位不在等待。4、对于拥挤时，可认为人数是不断增加的，有同学进入时有空窗口则立即买饭，否则排队等待。5、每个人的到来时刻，他们的服务时间相等且相互独立的。6、对于每个人的服务时间基本上固定，为了方便计算我们假设服务时间为固定数。第4页三.符号的约定四、模型分析与求解4.1模型一问题一以下是收集的数据及简单处理：1）用餐与时间数据整理：()tp进入人数t时间0a二次比例系数b一次比例系数c常数项()tq窗口等待人数n窗口个数第5页时间：10月28号地点：二食堂：时间段用餐人数与上一时段用餐人数的比备注6:30~6:45346:45~7:00421.247:00~7:152012.01刚下早操7:15~7:301601.97:30~7:45870.837:45~8:00640.7411:00~11:153211:15~11:30421.3111:30~11:45681.6211:45~12:0019022.4教放学12:00~12:152012.015.6教放学12:15~12:301401.1712:30~12:45650.4712：45~13:00420.6513:00~13:15451.0713:15~13:30360.813:30~13:45280.7813:45~14:00220.7916:30~16:452516:45~17:00843.36第6页表（一）时间：10月29号地点：二食堂时间段用餐人数备注6:30~6:45326:45~7:00487:00~7:15190刚下早操7:15~7:301607:30~7:45877:45~8:006411:00~11:153211:15~11:304211:30~11:456811:45~12:001802.4教放学12:00~12:151905.6教放学12:15~12:3014012:30~12:456512：45~13:004217:00~17:151601.88下午下课17:15~17:301401.517:30~17:45840.9517:45~18:00600.71418:00~18:15420.718:15~18:30781.8618:30~18:45420.5418:45~19:00380.90第7页13:00~13:154513:15~13:303813:30~13:452613:45~14:002416:30~16:453016:45~17:008217:00~17:15120下午下课17:15~17:3010917:30~17:458817:45~18:005918:00~18:154618:15~18:307518:30~18:454618:45~19:0032表（二）2）用餐人数与时间和地理位置的数据整理：时间：10月28号地点：二食堂地理位置（各门进入人数）时间东门西门6:30~7:0042237:00~7:302011807:30~8:00956011:00~11:30905011:30~12:0025014012:00~12:30807012:30~13；00523413:00~13:30食堂关闭食堂关闭第8页13:30~14:00食堂关闭食堂关闭16:30~17:00606417:00~17:3012010417:30~18:00605418:00~18:30406018:30~19:003430表（三）时间：10月29号地点：二食堂地理位置时间北门前南门6:30~7:0040217:00~7:30180707:30~8:00908611:00~11:3010612111:30~12:0020711612:00~12:30827012:30~13；00543213:00~13:30食堂关闭食堂关闭13:30~14:00食堂关闭食堂关闭16:30~17:00506017:00~17:3016010017:30~18:00709018:00~18:304060第9页问题二分析造成拥挤、用餐时间过长、排长队等现象的原因是：1）主要原因：因为学校课表安排不合理时段比较集中，导致就餐过于集中，造成就餐高峰期餐厅拥挤、排长队。2）次要原因：学生自身的素质差，有事会出现插队情况，有的窗口人员素质、态度不是太好、有的工作人员带有情绪化、办事效率偏低、窗口价格高低不一等。由表（一）和表（二）的数据知：由数据分析设进入人数P（t）=at^2+c+bt(t代表时间段)对于上面的数据利用matlab软件进行拟和结果,进入人数P(t)=-13.3420t^2+123.5359t+28.1636,(t∈{0,1,…28})下面是10月30日上午11:50到12:20，对二食堂4个窗口的打饭的离开人数与时间的关系。此段时间人员很多，窗口一直在服务没有间歇，因此结果可以代表服务速率窗口离开人数293228362935时间段/min232323每个人的服务时间/s4.1379315.6254.28571454.1379315.142857平均每个人的服务时间/s4.721572由上表的处理数据结果，服务时间t=4.72所以窗口等待人数()()ttnvqpt(n为窗口个数)代入P(t)窗口的等待人数()tq=-13.34t^2+123.5359t-226.07当v趋于无穷小时，则t表示某一时刻。所以此时窗口的等待人数()tq=-13.34t^2+123.5359t令()tq=0，则得t1=0t2=9.259开始离散型的t时间段,这里已经认为为连续的，得t=0时，时间为5：25，t=8第10页时时间为6：05所以t`=5：25+00：5*tt1=0,t2=9.259,时p=0，由数据知，只t∈[0，9]，可以预测在5：49时p为0当时p最大。得上p'=-13.342t^2+123.5359tt~0,9.259令t3=4.62时P`最大。易知在以t3为中心,r为半径的邻域U(t3，r)中,r为0时最为拥挤，r越小越拥挤。我们不妨设拥挤程度为R(t,r)为t,r的函数,r与R成负相关，我们不妨设拥挤度R(0,t3/2)=R(t2,t3)=0,R(t3/2)=1.得拥挤度函数R(t,r)=mP`(t)/285.9(m-r)(m为大于r的任意数)由函数分析可知道等待人数与时间的变化关系提出个人解决建议：1：每天就餐高峰段时间，人潮拥挤；根据调查所得数据得出如周一至周五早餐7:20，中餐12：00，晚餐5:20为就餐高峰段时间，经常要排很长的队。而平时则较空，这是与学校安排的课程表有密切关系的,希望食堂的工作人员可以像学校有关部门反映。因此在这个时间段拥挤会有所改善。2：由于同学们吃饭时常背着书包、拿着水杯，而餐厅座位上又没有放包的地方,所以经常是一个书包、一个水杯，甚至一本书就是一个座位，大大的浪费了餐厅的座位。但最主要的还是后勤服务集团应该多做宣传开展有关占座位这种不文明行为的教育，提高学生的素质，这样也可以避免餐厅因占座位而丢失东西的事件发生，还餐厅一个和谐、文明氛围。还可以通过在餐桌上贴有：“请同学们就餐完立刻离开餐厅，以避免拥挤造成事故，与人方便也与己方便。3：我们学校中午休息时间较长，放学的同学可以先考虑回到宿舍，休息10分钟到20分钟然后在去食堂吃饭，这样可以错开人流。五、模型评价与改进5.1模型的优点第11页（1）通过对于数据的处理建立了比较合理的方程，得到了拥挤方程，使问题的解决得到了初步的方法，提出了一般性的解决建议。（2）建立的模型比较简单，求解方便，考虑了问题的主要方面。5.2模型的缺点（1）由于时间原因只记录了俩天的数据，所以数据相对不是太多，使建模结果与实际必然会出现一定的误差（2）假设与实际并不完全吻合，例如假设5每个人的服务买饭的时间是不一样的，有的人打1个菜，有的人打2个菜等。。个人因素不同5.3模型的改进为了全面的了解我们学校食堂的吃饭拥挤状况，还需要对其余的食堂进行研究（学校1、1.5、3、4食堂）得出结果，不同的食堂由于窗口、饭的价格样式、服务态度、面积、结构构造、管理等都存在差别必然会导致拥堵的状况不同，从而采取的解决方法也是有差异的，只有全面的改善所有食堂的不足才能真正的解决我校的就餐拥挤问题。参考文献：1孙祥徐流美吴清MATLAB7.0基础教程清华大学出版社2005年2孟玉珂《排队论基础及应用》同济大学出版社3胡良剑.孙晓君等.应用微积分[M].北京：高等教育出版社，2006.4姜启源.谢金星.叶俊.数学模型(第三版)[M].高等教育出版社,2003.第12页附录（可以含程序、图、表格、证明过程）1、用Matlab计算在t时段滞留在排队中的人数n1(t)和t时段滞留在食堂进餐的人数n2(t)。02468101214161820050100150200250300n1tn1024681012141618200200400600800100012001400160018002000n2tn2