玩转21点-数学建模论文

2013年4月4日1“行健杯”数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了“行健杯”数学建模竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）：A参赛队员(打印并签名)：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：教练组日期：年月日评阅编号（由组委会评阅前进行编号）：2“行健杯”数学建模竞赛编号专用页评阅编号（由组委会评阅前进行编号）：评阅记录（可供评阅时使用）：评阅人评分备注统一编号：评阅编号：3论文题目：21点纸牌游戏的决策问题摘要：21点纸牌游戏是世界上流行的纸牌游戏。在游戏中涉及要牌、分牌、比较大小赢牌的策略问题。本文首先规定21点游戏规则，通过建立数学模型对21点纸牌游戏中点数进行综合分析，从而为玩家提供决策。问题一：在本问题中讨论做出是否要牌的决策。是否要牌取决于这两种情况下玩家赢牌的概率的大小。若要牌情况下赢牌概率大于停牌则要牌，否则停牌。因此，本文首先分析要牌与停牌条件下不同的获胜情况，并采用迭代法建立博弈模型，以玩家手牌点数和为12为例，计算出要牌与停牌两种情况下玩家赢牌的概率，得到以下结论：当庄家明牌点数为1到3和7到10时,要牌获胜概率大于停牌获胜概率，玩家应要牌。当庄家明牌点数为4到6时应停牌，最后用枚举法对模型加以优化并将模型加以推广从而制定最优决策。问题二：在本问题中考虑多种附加规则，如黑杰克、保险、分牌以及双倍下注等规则来制定决策。首先针对是否买保险，建立模型，计算出买保险的期望收益为-9/13,不买保险的期望收益为-8/13,得出不应买保险的结论，然后，针对是否分牌，再次以玩家手牌点数和为12（两张6）为例，通过问题一中所建立的模型，计算玩家在分牌下获胜的概率，并与不分牌时获胜的概率相比较，得出以下结论，当庄家手牌点数为2到6时采取分牌策略，否则不分牌。将模型加以推广，得出所有情形下是否牌的决策。然后，针对是否双倍下注，再次通过枚举法建立模型，计算获胜概率，如获胜概率超过50%则应双倍下注，最后进行规划统一，得到全部规则下，最优决策表，并通过高低法建立算牌模型，辅助决策，以达到更高的胜率。关键词：枚举法迭代法高低法黑杰克4一．问题背景：21点游戏规则：站在圆弧桌子后面的荷官会一轮一轮向各位玩家手里发牌，每个人需要计算手里的几张牌点数加到一起是多少（J，Q，K的点数是10分；A有两种算法，1或者11，如果A算为11时总和大于21，则A算为1），如果点数超过了21就算爆牌，谁先爆牌谁就输了。在得到两张牌之后，玩家有权决定是否继续要牌。玩家的目标就是让自己手里的牌的点数和尽量接近21点，但是又不超过21点。现在的扑克牌赌博游戏中，洗牌都是在洗牌机中完成的，不过并不是每局洗一次，往往一套牌（由四到六副组成）在用掉一半左右之后，才会换一副洗过的新牌。这一规则使得21点游戏中有了“算牌”的机会，玩家可以记住前面几局中哪些牌已经打出，哪些牌还留在剩下的牌里。21点游戏中涉及到的术语：a)要牌：在现有牌基础上继续抽牌；b)停牌：在现有牌基础上不在抽牌；c)分牌：玩家遇到点数相同的牌可分为两墩牌；d)双倍下注：玩家在拿到前两张牌之后，再下一注与原赌注相等的赌金[1]e)黑杰克：前两张手牌为A和10，则称为黑杰克。若是玩家有黑杰克而庄家没有，则玩家可赢得2倍赌金；相反，如果庄家有黑杰克玩家没有，则庄家收走玩家赌金；f)保险：在庄家牌面为A时，玩家可以选择买保险，保险金为赌金的1/2。若此时庄家手牌为黑杰克，则玩家收回赌金及保险金；若庄家手牌非黑杰克，则庄家收取玩家保险金，之后玩家选择要牌或停牌继续游戏；；g)双倍下注：玩家在拿到前两张牌之后，可以再下一注与原赌注相等的赌金，然后只能再拿一张牌。如果拿到黑杰克，则不许双倍下注。二．问题重述：问题一：你作为一位参与者，讨论一般情形下，如何做出要牌或者不要牌的决策。（可对已经进行的牌局建立适当的假设。）问题二：21点还有很多附加规则，比如一开始的两张牌正好是一张A和一张10点的牌（加起来刚好21），这就称为Blackjack；如果别人也达到了21点，Blackjack还可以更胜一筹。如果前两张牌点数相同，玩家还可以把牌分开，相当于一个玩家在充当两个玩家的角色，这种玩法就叫做“分牌”。试讨论在附加规则下，如何做出自己的决策。三．问题分析：问题一：由题可知，问题一中的规则较少，只考虑了在一般情况下，玩家与庄家进行21点游戏时，首回合各发两张牌及以后几个回合中，玩家选择继续要牌或是停牌的决策。而制定此决策需要考虑要牌与停牌条件下玩家取胜的概率，因此可以选用枚举法和迭代法的方法进行概率的计算，并比较大小从而得出结论。5问题二的分析：问题二较问题一添加了诸多规则，最终制定决策时需要分别考虑对应规则下的决策。其中需要用到概率的计算、期望的计算等数学方法。在依次确定相应规则下的决策后进行统一规划，即可得到此问题的结论。四．模型假设：1.游戏中有多副扑克牌，即抽到每张牌的概率相等；2.庄家发牌时，首回合玩家为两张明牌，庄家一张明牌一张暗牌，以后由玩家与庄家选择要牌或停牌；3.游戏中，若庄家获胜，则所有玩家全部赌金给庄家；若某一玩家获胜，则庄家的赌金给该玩家，其余玩家的赌金归于庄家；4.若庄家与玩家点数之和相同，则打平，取回各自赌金；5.庄家手牌点数之和等于或小于16必须继续要牌，手牌之和大于16则必须停牌；五．定义与符号声明：表格1：x庄家明牌点数；y庄家在明牌确定后抽到的牌为y；H首回合玩家手牌点数之和；F(a)当前点数之和为a时继续抽牌爆牌的概率；G(a)庄家得到点数之和为a的手牌的概率；P(H)玩家要牌获胜的概率；P(S)玩家停牌获胜的概率；P(B1)庄家爆牌的概率；P(B2)玩家爆牌的概率；P(VS)玩家点数之和大于庄家点数之和的概率；P1玩家要牌且庄家爆牌的概率；P2(i)(i=1,2,3,4)玩家在要牌比较点数时情况i所对应的概率；a(x,y)x与y的二维数组；E1、E2玩家的收益期望；PS(yes)、PS(no)玩家分牌与不分牌获胜的概率；M庄家牌面点数；N玩家手牌点数；D赌金6六．模型的建立与求解：(一).问题一模型的建立与求解：根据问题一的假设6，庄家手牌点数之和等于或小于16必须继续要牌，手牌之和大于16则必须停牌；可知，庄家要牌或停牌已由游戏规则确定，所以主要针对玩家是否要牌进行分析。玩家在停牌的情况下，假定玩家手牌点数之和为12。若庄家手牌点数之和大于16，庄家停牌，庄家胜；因此，只有在庄家点数之和等于或小于16时，庄家要牌且爆牌时玩家方能获胜；玩家在要牌情况下，有如下两种情况可以获胜：(1)玩家没有爆牌但庄家爆牌；(2)玩家与庄家都没有爆牌但玩家点数大于庄家点数取胜。在确定玩家要牌与停牌获胜情况后，对概率P(H)、P(S)进行如下两种方法的计算：1.迭代法[2]：(1).玩家停牌的情况下，由上述分析知只有在庄家要牌且爆牌的情况下才能获胜。此时对庄家抽牌情况可进行以下分析:若庄家点数之和为16，抽到牌点数为6到10的牌会爆牌，则：16FH8/130.61538.若庄家点数之和为15，抽到牌点数为7到10会爆牌，此概率为7/13，而抽到A又可规划为点数之和为16的情况，则：1516FH7/131/13*FH0.58580.若庄家点数之和为14，抽到牌点数为8到10会爆牌，此概率为6/13，而抽到A和2又可规划为点数之和为16的情况，则：1516FH6/131/13*FH1/13*F150.55380.同理，可计算出H14到H6的爆牌概率。当点数之和为5时，情况又有所不同，A可算为11点，此时,再进行H2到H5的计算，得到计算结果如下表格：表格2点数和16H15H14H13H12H11H10HF(HX)0.615380.585800.553940.519620.482670.212110.212119H8H7H6H5H4H3H2H0.228430.244740.262310.423150.436500.414360.394960.37569则可知当庄家牌面点数为6时停牌获胜概率P(S)=F(H6)=0.4231.(2).如果玩家没有停牌，而继续要牌的话，这时想要获胜，同上述两种情况。在玩家没有爆牌但庄家爆牌而获胜的情况下，概率：78910112P1GHGHGHGH*FH现在来考虑比较玩家点数之和大于庄家点数之和的获胜情况：如果庄家第一张牌点数为2，此时由于庄家的暗牌未知，则可视为待庄家抽取的牌，则2GH1.如果庄家手牌点数之和为3，则为H2的情况下抽取到A牌，即：32423GH1/13*GH0.07692G(H)1/13*GHGH；。同理，可算出521GHGH到的值，在计算过程中仍然要考虑A为11点的情况。计算结果如下：表格3234567891011G(H2)1.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.000G(H3)0.0771.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.000G(H4)0.0830.0771.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.000G(H5)0.0890.0830.0771.0000.0000.0000.0000.0000.0000.000G(H6)0.0960.0890.0830.0771.0000.0000.0000.0000.0000.000G(H7)0.1030.0960.0890.0830.0771.0000.0000.0000.0000.000G(H8)0.1110.1030.0960.0890.0830.0771.0000.0000.0000.000G(H9)0.1200.1110.1030.0960.0890.0830.0771.0000.0000.000G(H10)0.1290.1200.1110.1030.0960.0890.0830.0771.0000.000G(H11)0.1390.1290.1200.1110.1030.0960.0890.0830.0771.000G(H12)0.3810.1390.1290.1200.1110.1030.0960.0890.0830.077G(H13)0.1970.3810.1390.1290.1200.1110.1030.0960.0890.083G(H14)0.1360.1970.3810.1390.1290.1200.1110.1030.0960.089G(H15)0.1430.1360.1970.3810.1390.1290.1200.1110.1030.096G(H16)0.1490.1430.1360.1970.3810.1390.1290.1200.1110.103G(H17)0.1550.1490.1430.1360.1970.3810.1390.1290.1200.111G(H18)0.1490.1550.1490.1430.1360.1970.3810.1390.1290.120G(H19)0.1430.1490.1550.1490.1430.1360.1970.3810.1390.129G(H20)0.1370.1430.1490.1550.1490.1430.1360.1970.3810.139G(H21)0.1300.1370.1430.1490.1550.1490.1430.1360.1970.