数学建模论文报告-发动机生产问题

2012年芜湖高校数学建模竞赛第1页共23页摘要运用线性规划知识和计算机软件，采用线性规划模型的方法来解决企业生产与存储的问题，达到生产、需求与库存之间的平衡，以及得到在资源限制条件下的最优生产方案，使生产费用最小化或利润最大化是我们追求的目的。本题是在不同因素变化的情况下作出最优生产计划。问题1-5分别从不同的角度（即考虑不同因素的变化）进行讨论，求解最优生产方案。总的来说，该问题是一个最优化问题。问题一：在不考虑油价波动的情况下完成合同任务，这是一个产大于销的线性规划问题。油价取2011年全国0号柴油的平均值7.6元/升。求出实际成本1cij建立数学模型，利用lingo求出最优解，得出minz=877.95万元。问题二：在考虑油价波动的实际情况下，收集北京市2011年0号柴油变化情况，求出每个季度的平均油价，重新计算实际成本2ijc，用2ijc替换问题一数学模型中的实际成本1ijc，利用lingo求出最优解，得出minz=878.39万元。问题三：根据以往经验，各季度需求服从正态分布。采用满足95.45%市场需求的2原则并结合可以容忍2.5%缺货情况，预测2012市场需求。用新的市场需求替换问题一数学模型中的市场需求，利用lingo求出最优解，作出生产计划，得出minz=1216.86万元（本题的实际成本为3ijc和问题一的实际成本1ijc相等，因为本题只是改变了市场需求）。问题四：收集近几年的0号柴油价格波动数据，不考虑汽油价格对其他成本的影响，运用时间序列预测模型中的移动平均值法对2012年柴油价格作出预测，重新计算实际成本4ijc，用4ijc替换问题三数学模型中的实际成本3ijc，求出最优解，作出生产计划，得出minz=1218.91万元。问题五：考虑到汽油价格对其他成本的影响，收集汽油价格与物流价格的数据，用matlab拟合建立汽油价格与物流价格之间的数学模型，考虑到其他成本中有25%是物流成本，再一次计算实际成本。用新的实际成本重新考虑问题1-4。关键词：线性规划正态分布“3”原则时间序列价格波动插值拟合2012年芜湖高校数学建模竞赛第2页共23页一问题重述某市某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供A万,B万,C万,D万台同一规格的机器。已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如下表所示，如果生产出的产品当季不交货，每万台积压一个季度需储存、维护等费用0.15万元。生产成本表第一季度A第二季度B第三季度C第四季度D生产能力（万台）25353010需求（万台）10152520每万台耗0号柴油（升）10008008001000其他成本（万元/万台）131212101.不考虑油价波动(四个季度的油价都一样)，建立一个数学模型，使该厂全年生产（包括储存、维护）费用最小。2.考虑油价格波动的实际情况，收集2011年某市（自己选定某一城市或加油站）0号柴油变化情况，重新对问题一建立数学模型，要使该厂全年生产（包括储存、维护）费用最小。3.若根据以往经验，由于市场需求的变化，各季度需求是正态随机变量，若第一季度需求服从，第二季度需求服从，第三季度需求服从，第四季度需求服从，请在此假设下，不考虑柴油价格，可以容忍2.5%的缺货的概率情况下，对该厂的2012年生产计划作出安排。4.收集近几年的0号柴油价格波动数据，不考虑汽油价格对其他成本的影响，对2012年的柴油价格作预测，并以此来对问题3作出计划安排。5.若考虑到汽油价格对其他成本的影响，请收集汽油价格与物流价格的数据（可以不局限于该市），建立汽油价格变动幅度与物流价格波动幅度之间的数学模型，若其他成本中有25%是物流成本，在此假设下分别考虑问题1—4。2012年芜湖高校数学建模竞赛第3页共23页二问题分析解决企业生产与存储问题，达到生产，需求与库存之间的平衡，以及求得在资源限制条件下的最优生产方案是我们的目的。对在油价波动情况下的生产计划问题进行分析，分析如下：问题一：在不考虑油价波动的情况下求解问题，因此问题一是一个典型的产大于销的线性规划问题，运用线性规划知识和lingo软件可求出最优解和最优值。问题二：考虑油价波动的实际情况，说明了油价的变化会影响机器生产的耗油成本，从而问题二的实际成本发生了改变，因此只要在问题一的基础上改变实际成本就可以解决问题了。问题三：根据以往经验，由于市场需求的变化，各季度需求服从正态分布，再考虑2.5%的缺货情况。说明了本题是市场需求发生改变，而其他因素不变，因此只要预测出2012年市场需求，应用问题一的模型就可得到求解。问题四：考虑0#柴油价格的波动，不考虑汽油价格对其他成本的影响，对2012年的柴油价格作预测，并以此来对问题三作出计划安排。说明了本题是在问题三的基础上考虑柴油价格的变动进而改变了实际成本，因此只要用重新计算得到的实际成本代替问题三的实际成本即可。问题五：考虑到汽油价格对其他成本的影响，其他成本中有25%是物流成本。在此假设下分别考虑问题1—4。本题又是在前四题的基础上通过改变物流成本来改变实际成本，因此只要计算在汽油价格对其他成本的影响此条件下问题1—4相对应的实际成本，并应用计算得到的数据重新考虑前四题即可。2012年芜湖高校数学建模竞赛第4页共23页三模型假设1．假设工厂每季度末能按时交货；2.假设其他成本中的75%的非物流成本保持不变；3．假设该厂每季度生产的产品的合格率保持稳定；4.假设根据以往经验，预测的市场需求变化准确；5.假设积压下来的机器各方面性能保持完好，不影响出售。6.假设该厂在生产过程中，生产能力不受其他因素（包括环境和人为等因素）的影响；7.假设每季度的生产量都是按原计划进行；8.假设市场销售量不随经济的波动而波动；四符号说明ia：表示该厂第i季度的生产能力。ib：表示第i季度的合同供应量。kijc：第i季度生产的用于j季度交货的每万台发动机的实际成本,即是该季度单位成本加上储存、维护等费用。ijx：第i季度生产的用于第j季度交货的发动机数。Z:该厂全年生产(包括储存、维护)总费用。2012年芜湖高校数学建模竞赛第5页共23页五模型的建立与求解5.1模型准备在社会生产生活中，理想情况下是以产销平衡为前提条件的，但是实际问题中产销往往是不平衡的。就需要把产销不平衡的问题化成产销平衡的问题。当产大于销：minjjiba11时，运输问题的数学模型可写成：minjijijxcz11min满足：0),,2,1(,),,2,1(,11ijmijijnjiijxnjbxmiax由于总的产量大于销量，就要考虑多余的物资在哪一个产地就地储存的问题。设1,nix是产地iA的储存量，于是有：令：ijijcc0,当i=1,…，m，j=1,…，n时,00ijc,当i=1,…，m，j=n+1时,将其分别代入，得到:njnjiijniijmiaxxx1111,),,2,1(,mijijnjbx1),,2,1(miminjnjinibbax11111,2012年芜湖高校数学建模竞赛第6页共23页minjijijminjminiminjijijijijxccxcxcz11111101,1100'min满足：0111ijmijijnjiijxbxax由于在这个模型中minjjnjnjibbba1111所以这是一个产大于销的运输问题。若当产大于销时，只需增加一个假想的销地，j=n+1（实际上是储存），该销地总需要量为minjjiba11而在单位运价表中从各产地到假想销地的单位运价为001,nic，就转化成一个产销平衡的运输问题。5.2问题一不考虑油价波动(四个季度的油价都一样)，建立一个数学模型，使该厂全年生产（包括储存、维护）费用最小。在不考虑油价波动的情况下，油价取2011年全国0#柴油的平均值7.6元/升。5.2.1模型的建立由于每个季度生产出来的发动机不一定当季交货，所以设ijx为第i季度生产的用于第j季度交货的发动机数。根据合同要求，必须满足：2012年芜湖高校数学建模竞赛第7页共23页2025151044342414332313221211xxxxxxxxxx又因为每季度生产的用于当季和以后各季交货的发动机数不可能超过该季度的生产能力，故又有：1030352544343324232214131211xxxxxxxxxx第i季度生产的用于j季度交货的每万万台发动机的实际成本1ijc应该是该季度单位成本（消耗的柴油成本与其他成本之和）加上储存、维护等费用。1ijc的具体数值见下表：设用ia表示该厂第i季度的生产能力，jb表示第i季度的合同供应量，则问题可写成：目标函数：41411minijijijxcz满足：04141ijijijjiijxbxax显然，这是一个产大于销的运输问题模型。注意到这个问题中当i＞j时，ijⅠⅡⅢⅣⅠⅡⅢⅣ13.7613.9112.6114.0612.7612.6114.2112.9112.7610.762012年芜湖高校数学建模竞赛第8页共23页ijx=0，所以应令对应的Mcij1，再加上一个假想的需求D，就可以把这个问题变成产销平衡的运输模型，并写出产销平衡表和单位运价表:销地产地ⅠⅡⅢⅣD产量Ⅰ11ⅢⅣ13.76MMM13.9112.61MM14.0612.7612.61M14.2112.9112.7610.76000025353010销量10152520301005.2.2模型的求解用lingo软件求得minz=877.95求解图示：2012年芜湖高校数学建模竞赛第9页共23页运行后出现窗口如下：2012年芜湖高校数学建模竞赛第10页共23页点击关闭后出现窗口如下：2012年芜湖高校数学建模竞赛第11页共23页5.3问题二考虑油价波动的实际情况，根据收集的2011年北京市0号柴油的价格计算出每个季度的平均值（2011年北京市0号柴油具体价格见附录价格）。2011年北京市0号柴油价格波动表季度年份第一季度第二季度第三季度第四季度2011年7.527.737.797.575.3.1模型的建立在考虑油价波动的情况下，第i季度生产的用于j季度交货的每万万台发动机的实际成本2ijc应该是该季度单位成本（消耗的柴油成本与其他成本之和）加上储存、维护等费用。具体数值见下表：5.3.2模型的求解将问题一中的程序1ijc的数值换成2ijc的数值，得到结果：minz=878.39（求解代码见附录）。5.4问题三5.4.1模型的建立当2,~x，则.3,9973.0;2,9545.0;1,6826.0)()()|(|kkkkkkXP从上式中可以看出：尽管正态变量的取值范围是),(，但它的99.73%的ijⅠⅡⅢⅣⅠⅡⅢⅣ13.75213.90212.61814.05212.76812.62314.20212.91812.77310.7572012年芜湖高校数学建模竞赛第12页共23页值落在)3,3(内。这个性质被实际工作者称作是正态分布的“3”原则。但在这里考虑需求分布时，由于投资人追求最大利润原则，在需求满足2时，已经满足的95.45%的市场需求，不可能去为了满意3原则而增加上万的进货量，所以这里取2。故每个季度的最大需求分别为14、21、35、28，在容忍2.5%的缺货情况下的最小需求分别为13.65、20.475、34.125、27.3。300.27125.34475.20650.13283521144434241433231322121144342414332313221211xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx