空间直角坐标系一

【本讲教育信息】一、教学内容：空间直角坐标系，包括：1、空间直角坐标系的建立；2、空间直角坐标系中点的坐标；3、空间两点间的距离公式二、学习目标1、通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；2、通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式；3、经历空间直角坐标系刻画点的过程，了解类比思维，经历用代数方法刻画几何位置的过程；4、通过在几何体中建立空间直角坐标系，进一步培养空间观念和空间想象能力；进一步了解解析几何的本质思想。三、知识要点一）空间直角坐标系的建立1、空间物体位置的描述以上图为例：一只小蚂蚁站在水泥构件O点处，在A、B、C、D、E处放有食物，如何告诉小蚂蚁食物的位置？——可以结合放有食物的各点与O点的相对位置，用方位（东、西、南、北、上、下）及需要走过的距离来描述。如：自O点出发，向东爬过5格，再向上爬过3格，再向北爬2格，即可取到放在B处的食物。2、建立空间直角坐标系：将平面直角坐标系的x轴（横轴）和y轴（纵轴）放置在水平面上，过原点O作一条与xOy平面垂直的z轴（竖轴），这样就建立了三个维度的空间直角坐标系，如图：——右手系：符合右手螺旋法则，若顺着z轴看，从x轴到y轴是沿顺时针方向。3、空间直角坐标系：空间直角坐标系中，O为坐标原点，x，y，z轴统称为坐标轴。坐标轴确定的平面称为坐标平面，x，y轴确定的平面记作xOy平面，y，z轴确定的平面记作yOz平面，x，z轴确定的平面记作xOz平面.二）空间直角坐标系中点的坐标：1、空间中点的坐标：P（x，y，z），确定方法：由P作PP＇⊥坐标平面xOy，则P＇点是平面xOy上的点，其坐标为（x，y，O），这样就确定了P的横坐标x和纵坐标y.若PP＇与z轴正半轴在平面xOy同侧，则z=|PP＇|；若PP＇与z轴正半轴在平面xOy异侧，则z=－|PP＇|，这样就确定了P点的竖坐标z。2、坐标平面上点的坐标：①xOy平面上点的坐标：（x，y，0）；xOz平面上点的坐标：（x，O，z）；yOz平面上点的坐标：（0，y，z）；②x轴上点的坐标：（x，0，0）；y轴上点的坐标：（0，y，0）；z轴上点的坐标：（0，0，z）3、空间直角坐标系中长方体各顶点的坐标：设长方体ABCD－A＇B＇C＇D＇的长、宽、高分别为，将A点放在坐标原点，AB放在x轴正半轴上，AD放在y轴正半轴上，如图：则A（0，0，0），B（a，0，0），C（a，b，0），D（0，b，0），A＇（0，0，c），B＇（a，0，c），C＇（a，b，c），D＇（0，b，c）.三）空间两点间的距离公式1、长方体对角线长若长方体的长、宽、高分别为，则对角线长为；2、空间任意两点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则|AB|=【典型例题】考点一建立适当的空间直角坐标系并求某些点的坐标例1：如图，正三棱柱ABC－A1B1C1各棱长均为2，试建立适当坐标系，确定各顶点的坐标。图a图b解：以图a为例。建立空间直角坐标系如图a。易知，C（0，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，2），B1（0，2，2）；可求得：A（），则A1（）。说明：建立空间直角坐标系一定要充分利用图形的垂直关系和对称关系，这样容易探求各点坐标。考点二空间直角坐标系中对称点的坐标例1：已知空间中任意一点Ｐ（x，y，z），分别求Ｐ关于坐标轴、坐标平面和坐标原点对称的各点坐标。解：设空间直角坐标系中任意点Ｐ（x，y，z）．作辅助图形如上。则：①与Ｐ关于x轴对称的点P1（x，－y，－z）；与Ｐ关于y轴对称的点P2（－x，y，－z）；与Ｐ关于z轴对称的点P3（－x，－y，z）；②与Ｐ关于xOy平面对称的点p＇（x，y，－z）；与Ｐ关于yOz平面对称的点p''（－x，y，z）与Ｐ关于xOz平面对称的点p'''（x，－y，z）；③与Ｐ关于Ｏ点对称的点Ｐo（－x，－y，－z）．说明：构造长方体来研究对称点的坐标十分方便。考点三空间两点的距离例3：已知A（1，2，－1），B（2，0，2），在xOz平面内的点M到A与B等距离，求M点的轨迹。解：设M（x，y，z），由题意：|MA|=|MB|，代入两点的距离公式即得：x+3z－1=0。因此M点的轨迹是xOz平面内的一条直线。说明：①求点的轨迹与求点的轨迹方程的区别；②对本题中M点的轨迹进行描述时要注意到：该轨迹上的任意一点的横坐标y=0，这是平面xOz上点的特征。考点四空间中的直线、平面与球面方程例4：求空间中到原点O（0，0，0）的距离为1的点M的轨迹。解：设M（x，y，z），由题意：|MO|=1，代入坐标即得：x2+y2+z2=1。这是以O为球心、半径为1的球面。说明：①对这种题型的处理主要结合几何意义进行直观理解和描述。②平面xOy的方程是：z=0；平面xOz的方程是：y=0；平面yOz的方程是：x=0；③x轴的方程是：y=z=0；y轴的方程是：x=z=0；z轴的方程是：x=y=0。五、本讲涉及的主要数学思想方法空间直角坐标系是研究空间点的位置的基础，空间两点的距离公式是解决空间长度的求解（甚至是空间角度的求解）的关键。建立空间直角坐标系是学习本讲的关键，要充分利用图形的垂直关系和对称关系，让尽量多的点或线落在坐标轴上或坐标平面上；对常见几何体要变换多种建系方式，对透彻了解这些几何体的性质是很有帮助的。在学习中要充分利用好长方体这个重要模型，可以类比研究其它几何体的顶点坐标的求解或建系。另外，对平面几何中的有关结论要通过类比推广到空间中（如距离公式的推广、中点或其它分点坐标的求解、简单的直线或平面方程的求解等）。【模拟试题】（答题时间：45分钟）一、选择题1、已知点（1，2，3），则该点关于x轴的对称点的坐标为（）A、（1，－2，－3）B、（－1，2，3）C、（1，－2，3）D、（1，2，－3）2、已知点P（1，2，3），则P点关于点M（3，2，1）的对称点的坐标为（）A、（2，2，2）B、（－1，2，5）C、（5，2，－1）D、（1，0，－1）3、已知点P（1，2，3），M（x，1，2），则P，M两点间距离的最小值为（）A、2B、C、D、无最小值4、在空间直角坐标系中，过点P（1，2，3）作xOz平面的垂线，则垂足M的坐标为（）A、（1，2，0）B、（1，0，3）C、（0，2，3）D、（0，2，0）5、已知A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4）为三角形的三个顶点，则△ABC是（）A、直角三角形B、钝角三角形C、锐角三角形D、等腰三角形6、空间直角坐标系中，点P（1，2，3）到x轴的距离是（）A、3B、C、D、7、已知A（1，2，－1），点C与A关于平面xOy对称，点B与A关于x轴对称，则|BC|的长为（）A、B、4C、D、二、填空题8、已知P（1，2，3），Q（4，5，6），则线段PQ在平面xOy上的射影长为；9、（2008南京调研）试在平面xOy内的一条直线x+y=1上确定一点M，使得M到点N（6，5，1）的距离最小。三、解答题*10、如图，以正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O－xyz.点P在正方体的对角线AB上运动，点Q在正方体的棱CD上运动，已知棱长为1，求|PQ|的最小值.说明：该题实际上提供了求异面直线距离的一种方法——借助空间坐标，求异面直线上任意两点距离的最小值，该最小值即异面直线的距离。11、在y轴上求一点P，使之到点M（3，－1，2）和点N（0，2，1）的距离相等.12、设正四棱锥各棱长均为1，试建立适当的坐标系，求出各顶点的坐标.13、证明以A（4，3，1），B（7，1，2），C（5，2，3）为顶点的三角形ABC是一等腰三角形.【试题答案】一、选择题：ACBBADB二、填空题：8、；9、（1，0，0）；三、解答题10、解：设P（x，x，z），Q（0，1，z'），则|PQ|=由此可知：当同时成立时，|PQ|min=.11、解：设所求点P（0，y，0），依题意|PM|=|PN|，解得y=.故所求点为P（0，，0）.12、解：以底面中心O为坐标原点，建系如图.易求得：S（0，0，），A（，，0），B（－，，0），C（－，－，0），D（，－，0）.说明：建系不同，则所求坐标不同.13、解：由两点间距离公式得：由于，所以△ABC是一等腰三角形。