2–3-牛顿运动定律的应用

上页下页末页退出首页上页下页末页退出首页牛顿运动定律作为质点动力学的基础，在实践中有广泛的应用，本节将举例说明如何应用牛顿运动定律来分析和解决动力学的有关问题。一、应用牛顿定律解决力学问题的基本方法应用牛顿运动定律解决质点动力学的问题大至可分为两类；一类是已知质点的受力情况，求解质点的运动状态，对于这类问题，现阶段我们主要掌握恒力作用下的多体问题和变力作用下的单体问题，对于变力，力可能是空间、时间和速度的函数；第二类是已知质点的运动状态，求解作用于质点的力、速度、加速度等。运用牛顿运动定律解决质点动力学问题的基本方法有隔离法，整体法等，其基本步骤如下：上页下页末页退出首页（1）确定研究对象。（2）分析研究对象受力情况（3）选取坐标系或确定坐标原点及正方向，依据力的作用效果对力进行正交分解，有时还要对速度或加速度进行分解；（4）根据物体的受力及运动情况列方程。（5）求解及讨论。“认物体、看运动、查受力、建坐标、列方程、解方程、作讨论”上页下页末页退出首页二、应用举例【例题2－1】如图2－7所示，质量为m的小环套在绳上，绳子跨过定滑轮并在另一端系一质量为M的物体，若绳子不可伸长，不计质量，绳子与滑轮间的摩擦力可忽略，小环受绳子的摩擦力为f，求小环相对于绳子的加速度和物体M相对于地面的相加速度。mMmgMgTaMfa－aM上页下页末页退出首页mgMgTaMfa－aMMMaTMg)(MaamfmgmMfMmga)(2MfgaM解：由受力分析，选地面为参考系，应用牛顿第二定律有由于不计绳子的质量，故对物体M的张力T等于小环受到的摩擦力。解上面方程，得上页下页末页退出首页【例题2－2】一链条，总长为l，放在摩擦因素µ为的水平桌面上，其中一端下垂，长度为a，如图2-9所示，假定开始时链条静止，求链条刚刚离开桌边时的速度。al－am2gxxaONfm1gxal是作用于整个链条的外力，此时在桌面部分的长度为解：设链条总质量为m。则单位长度的质量为lm/gxalmgm)(1xal)(2xallmm再下落x时，则下落部分所受重力，此力可看成质量为，这部，当链条为，分链条对桌面的压力等于桌面对链条下落动画上页下页末页退出首页链条的支持力，也等于这部分链条的重，即m2gxxaONfm1gxalgxallmgmN)(2gxallmNf)(gxallmgxalmtm)()(ddvgxallgxalt)()(1ddv桌面上链条受到的摩擦力为选整个链条为研究对象，选桌边处为坐标原点，应用牛顿第二定律得即上页下页末页退出首页gxallgxalt)()(1ddv0C0x0v当时，，代入上式可计算出积分常量故]2)1(2)1[(2lxaxxlgvxlaxlgdd])1()1[(vvClxaxxlg]2)1(2)1[(22v][22allgvµ=0上页下页末页退出首页【例题2－3】一质量为m的跳水运动员，初速度为零地从10m跳台上跳下。（1）求入水速度和从起跳到入水大致所用的时间；（2）假定作用在跳水者身上水的浮力和他所受的重力正好抵消，作用在他身上的水的黏滞力大小为，x=0时，试求速度作为水面下深度的函数；（3）设时，求当时，运动员潜入水的深度；（4）求运动员在水下的深度与时间的函数。0v2vb0vvm/s4.0/mb10/0vv上页下页末页退出首页解：（1）将运动员近似看成是自由落体运动，由221gth得从起跳到入水大致所用的时间为s43.18.91022ght入水速度为m/s0.1443.18.90gtv（2）选运动员为研究对象，应用牛顿第二定律列方程得2vvbtmdd上页下页末页退出首页2vvbtmddxmbddvvxxmb0dd0vvvvxmbe0vvm/s4.0/mb10/0vv（3）当，时，有x4.000e101vvm76.510ln4.01xm/s0.2vm86.4x如以运动员在水中的速度减小到的安全，所以标准的10m跳台跳水速度计算，则得游泳池的设计规范要求水深在4.5m~5m之间。上页下页末页退出首页（4）xmbe0vvxmbtxedd0vtxxmbtx000ddevtmbbmx01lnv【例题2－4】半径为R的圆环，其环面固定在光滑的水平面上，质量为m的物体沿环的内壁运动，物体与环之间的摩擦因数为µ。已知t=0时，物体的速率为。求物体任一时刻的速度、所受的摩擦力f和已经走过的路程？0vvS上页下页末页退出首页N1mgfvN2O解：选物体为研究对象，地面为参考系，对物体受力分析如图所示。应用牛顿第二定律得tmmaftddv切向：RmmaNn2v2法向：2NftRddvv2ttR0dd0vv2vvtRR00vvvtmmaftddv2020)(tRRvmvf上页下页末页退出首页2020)(tRRvmvf)1ln(d1d00000tRRttRtSttvvvv讨论（1）物体的速率随时间增大而逐渐减小；（2）摩擦因数µ越大，环半径R越小，则速率减小得越快；（3）物体在运动过程中，所受的摩擦力f也是逐渐减小的。当t很大时，v，N2，f都趋近于0。上页下页末页退出首页【例题2－5】一根柔软均质链条，全长为L，线密度为ρ，一端着地开始自由下落，求下落的任意时刻，链条给地面的压力？LyyOddpNgytvypd()dyNgytv2()NgLy链条对地面的压力大小也为N，方向与N的方向相反。解：gyLgyyLgtytyty)32()(2ddddd)(dvvv又因上页下页末页退出首页必做习题2-15，2-16，2-17，2-18，2-19