10.1.4-概率的基本性质

2.古典概型：(1)有限性;(2)等可能性.4.古典概型的解题步骤:①明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母、数字、数组等）表示试验的可能结果；②根据实际问题情景判断样本点的等可能性；③计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率.其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数.nAkPAnn3.古典概型概率计算公式：知识回顾1.概率定义:对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率.用P(A)表示.5．事件的关系或运算的含义及符号表示事件的关系或运算含义符号表示包含A发生导致B发生A⊆B并事件(和事件)A与B至少一个发生A∪B或A＋B交事件(积事件)A与B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B＝∅互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B＝∅，A∪B＝Ω下面我们从定义出发，研究概率的性质，例如概率的取值范围；特殊事件的概率；事件有某些特殊关系时，它们的概率之间的关系，等等。由概率的定义可知:任何事件的概率都是非负的；且在每次试验中必然事件一定发生；不可能事件一定不发生。性质1对任意的事件A，都有P(A)_______.性质2必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝____，P(∅)＝____.≥010概率的基本性质探究一：若事件A与事件B互斥，和事件A∪B的概率与事件A,B的概率之间有什么关系？（重看例6）12642122342)().RRRGM附例：一个袋子中有大小和质地相同的个球，其中有个红色球（标号为和，个绿色球标号为和，从袋中不放回地依次随机摸出个球。设事件第一次摸到红球，第二次摸到红球，两次都摸到红球，两次都摸到绿球两个球颜色相同。1212,={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2)(4,3)}={(1,2),(2,1)}()xxxxRG表示可能分析：所有的试验结果用数对是第一次摸到的球号是第二次摸到的球号，则试验的样本空间的结果，，两次都摸到红球两次都摸到绿球={(3,4),(4,3)}={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)}M两个球颜色相同通过分析，我们知道了事件R=“两次都摸到红球”与事件G=“两次都摸到绿球”互斥，R∪G=M=“两次摸到的球颜色相同”而n(R)=2,n(G)=2,n(RUG)=2+2=4,因此P(R∪G)=P(R)＋P(G)一般地，因为事件A与事件B互斥，即A与B不含有相同的样本点，所以n(A∪B)=n(A)+n(B),这就等价于P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，即两个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件的概率之和。所以我们推出了互斥事件的概率加法公式。性质3（互斥事件的概率加法公式）如果事件A和事件B互斥那么P(A∪B)＝.P(A)＋P(B)12mAAA1212()()()()mmPAAAPAPAPA12,,mAAA，互斥事件的概率加法公式还可以推广到多个事件的情况。如果事件两两互斥，那么事件发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即性质4如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝__________，P(A)＝__________.1－P(A)1－P(B)因为事件A与事件B互为对立事件，所以和事件A∪B=Ω，A∩B=∅。所以有1=P(A∪B)＝P(A)＋P(B)由此我们得到性质5如果A⊆B，那么P(A)___P(B).()()nAnBnn一般地，对于事件A与事件B，如果A⊆B,即只要事件A发生，则事件B一定发生，那么事件A的概率不超过事件B的概率。于是我们得到了概率的单调性:≤探究二：对于任意两个事件A和B,和事件的概率与A、B的概率有什么关系？126:42122342)()RR附例一个袋子中有大小和质地相同的个球，其中有个红色球（标号为和，个绿色球标号为和，从袋中不放回地依次随机摸出个球。设事件第一次摸到红球，第二次摸到红球，121212={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2)(4,3)}{(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)}{(2,1),(3,1),(4,1),(1,2),(3,2),(4,2)}RRRR分析：，，因为n()=12,n(R)=n(R)=6,而U1212121212121212121212610,,+12122={(1,2),(2,1)}12=()()RRRRRRRRRRRRRRPRPRRR摸到的两个球中有红球”，且n()=10所以P(R)=P(R)=P()=因此P()P(R)P(R)。这是因为，即，不是互斥的。又发现P()=，我们容易得到：P()P()UUUIIUI性质3（互斥事件的概率加法公式）如果事件A和事件B互斥，那么P(A∪B)＝.P(A)＋P(B)性质6设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝______________________.并称之为概率的一般加法公式P(A)＋P(B)－P(A∩B)探究二：对于任意两个事件A和B,和事件的概率与A、B的概率有什么关系？一般地，我们有以下性质：概率的基本性质性质1对任意的事件A，都有P(A)_______.性质2必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝____，P(∅)＝____.性质3如果事件A和事件B互斥，那么P(A∪B)＝____________.性质4如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝__________，P(A)＝__________.性质5如果A⊆B，那么P(A)___P(B).性质6设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝______________________.≥010P(A)＋P(B)1－P(A)1－P(B)≤P(A)＋P(B)－P(A∩B)例1：如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红桃心（事件A）的概率是，取到方片（事件B）的概率是，请问：（l）取到红色扑克牌（事件C）的概率是多少？（2）取到黑色扑克牌（事件D）的概率是多少？1414典例分析,111442(2)1122CABABCDCDCD解：(1)且与不可能同时发生，所以A与B互斥。P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)=因为与互斥，且是必然事件，所以与互为对立事件。因此P(D)=1-P(C)=1-题型一：互斥事件、对立事件的概率公式的应用变式练习：射击队的某一选手射击一次，其命中环数的概率如下：命中环数10环9环8环7环概率0.320.280.180.12求该选手射击一次：(1)命中9环或10环的概率；(2)至少命中8环的概率；(3)命中不足8环的概率.解：记“射击一次，命中k环”为事件Ak(k＝7,8,9,10).(1)因为A9与A10互斥，所以P(A9A10)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.6.(2)记“至少命中8环”为事件B，则B＝A8A9A10，又A8，A9，A10两两互斥，所以P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.(3)记“命中不足8环”为事件C，则事件C与事件B是对立事件.所以P(C)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22.[方法总结]互斥事件、对立事件的概率公式的应用(1)互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)是一个非常重要的公式，运用该公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，然后求出各事件的概率，用加法公式得出结果.(2)当直接计算某事件的概率比较烦琐时，可间接地先求得其对立事件的概率，然后利用对立事件的概率加法公式P(A)＋P(B)＝1，求出该事件的概率.例2：甲、乙两人各投篮一次，命中率分别为0.8和0.5，两人都命中的概率为0.4，求甲、乙两人至少有一人命中的概率.解：至少有一人命中，可看成“甲命中”和“乙命中”这两个事件的并事件.设事件A为“甲命中”，事件B为“乙命中”，则“甲、乙两人至少有一人命中”为事件A∪B，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.8＋0.5－0.4＝0.9.题型二概率一般加法公式(性质6)的应用[方法总结]利用概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)求解的关键，在于理解两个事件A，B的交事件A∩B的含义，准确求出其概率.题型三概率与统计的综合应用例3某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数/人x3025y10结算时间/(分钟/人)11.522.53(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)解：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9分钟.(2)记事件A为“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝15100＝320，P(A2)＝30100＝310，P(A3)＝25100＝14.因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝320＋310＋14＝710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.课堂小结概率的基本性质性质1对任意的事件A，都有P(A)_______.性质2必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝____，P(∅)＝____.性质3如果事件A和事件B互斥，那么P(A∪B)＝____________.性质4如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝__________，P(A)＝__________.性质5如果A⊆B，那么P(A)___P(B).性质6设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝______________________.≥010P(A)＋P(B)1－P(A)1－P(B)≤P(A)＋P(B)－P(A∩B)课堂小结求复杂互斥事件概率的两种方法直接法将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和间接法先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P(A－)求解.当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法请同学们完成新高考学案44页-48页习题