二次函数与平行四边形

教育是一项良心工程！欣赏您的孩子，其实天才就在你身边！龙文教育个性化辅导授课案教师：学生时间：2013年_月__日__段第__次课课题二次函数中平行四边形的存在性考点分析重点难点授课内容一、已知三个定点，再找一个定点构成平行四边形（平面内有三个点满足）例1.已知抛物线baxaxy22与x轴的一个交点为A(-1,0)，与y轴的正半轴交于点C．⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；⑵当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；⑶坐标平面内是否存在点M,使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点M的坐标；若不存在,请说明理由．解：⑴对称轴是直线：1x，点B的坐标是(3,0)．……2分说明：每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分．⑵如图，连接PC，∵点A、B的坐标分别是A(-1,0)、B(3,0)，∴AB＝4．∴．ABPC242121在Rt△POC中，∵OP＝PA－OA＝2－1＝1，∴．POPCOC3122222∴b＝．3………………………………3分当01，yx时，，aa032∴．a33………………………………4分∴．xxy3332332………………5分⑶存在．……………………………6分理由：如图，连接AC、BC．设点M的坐标为),(yxM．①当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM＝AB．教育是一项良心工程！欣赏您的孩子，其实天才就在你身边！由⑵知，AB＝4，∴|x|＝4，3OCy．∴x＝±4．∴点M的坐标为)3,4()3,4(或M．…9分说明：少求一个点的坐标扣1分．②当以AB为对角线时，点M在x轴下方．过M作MN⊥AB于N，则∠MNB＝∠AOC＝90°．∵四边形AMBC是平行四边形，∴AC＝MB，且AC∥MB．∴∠CAO＝∠MBN．∴△AOC≌△BNM．∴BN＝AO＝1，MN＝CO＝3．∵OB＝3，∴0N＝3－1＝2．∴点M的坐标为(2,3)M．……………………………12分说明：求点M的坐标时，用解直角三角形的方法或用先求直线解析式，然后求交点M的坐标的方法均可，请参照给分．综上所述，坐标平面内存在点M，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形．其坐标为123(4,3),(4,3),(2,3)MMM．说明：①综上所述不写不扣分；②如果开头“存在”二字没写，但最后解答全部正确，不扣分。例2.已知抛物线22yxxa（0a）与y轴相交于点A，顶点为M.直线12yxa分别与x轴，y轴相交于BC，两点，并且与直线AM相交于点N.(1)填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则MN，，，；(2)如图，将NAC△沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的面积；(3)在抛物线22yxxa（0a）上是否存在一点P，使得以PACN，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由.（1）411133MaNaa，，，.……4分（2）由题意得点N与点N′关于y轴对称，N4133aa，，将N′的坐标代入22yxxa得21168393aaaa，10a（不合题意，舍去），294a.……………2分第（2）题xyBCODAMNN′xyBCOAMNP1P2备用图教育是一项良心工程！欣赏您的孩子，其实天才就在你身边！334N，，点N到y轴的距离为3.904A，，N334，，直线AN的解析式为94yx，它与x轴的交点为904D，，点D到y轴的距离为94.1919918932222416ACNACDADCNSSS△△四边形.……………2分（3）当点P在y轴的左侧时，若ACPN是平行四边形，则PN平行且等于AC，把N向上平移2a个单位得到P，坐标为4733aa，，代入抛物线的解析式，得：27168393aaaa10a（不舍题意，舍去），238a，12P7，8.……………2分当点P在y轴的右侧时，若APCN是平行四边形，则AC与PN互相平分，OAOCOPON，．P与N关于原点对称，4133Paa，，将P点坐标代入抛物线解析式得：21168393aaaa，10a（不合题意，舍去），2158a，5528P，．……………2分存在这样的点11728P，或25528P，，能使得以PACN，，，为顶点的四边形是平行四边形．二、已知两个定点，再找两个点构成平行四边形①确定两定点连接的线段为一边，则两动点连接的线段应和已知边平行且相等）例1．已知，如图抛物线23(0)yaxaxca与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧。点B的坐标为(1，0),OC=30B．(1)求抛物线的解析式；(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值：教育是一项良心工程！欣赏您的孩子，其实天才就在你身边！(3)若点E在x轴上，点P在抛物线上。是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形?若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵对称轴3322axa………1分又∵OC=3OB=3，0a，∴C（0，－3）………2分方法一：把B(1,0)、C(0，－3)代入23yaxaxc得：330caac解得：334ac，∴239344yxx…………………4分方法二：∵B（1，0），∴A(-4，0)可令(4)(1)yaxx把C(0，-3)代入得：34a∴3(4)(1)4yxx………………4分239344xx（2）方法一：过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N。∵ABCACDABCDSSS四边形＝＝15115()2222DMANONDM＝……………5分∵A(-4，0)，C(0，-3)设直线AC的解析式为ykxb代入求得：334yx……………6分令239(3)44Dxxx，，3(3)4Mxx，2233933(3)(2)34444DMxxxx…………7分当2x时，DM有最大值3此时四边形ABCD面积有最大值272。…………8分方法二：过点D作DQ⊥y轴于Q，过点C作1CC∥x轴交抛物线于1C，从图象中可判断当嗲D在1CC下方的抛物线上运动时，四边形ABCD才有最大值。则OBCDQCABCDAOQDSSSS四边形梯形＝－=311(4)(3)222DQOQDQOQ教育是一项良心工程！欣赏您的孩子，其实天才就在你身边！=33222OQDQ…………5分令239(3)44Dxxx，则2233933272(3)(2)244222ABCDSxxxx四边形＝…………7分当2x时，四边形ABCD面积有最大值272。…………8分（3）如图所示，讨论：①过点C作1CP∥x轴交抛物线于点1P，过点1P作11PE∥AC交x轴于点1E，此时四边形11ACPE为平行四边形，…………9分∵C(0，-3)令2393344xx得：1203xx，∴13CP。∴1(33)P，例2.已知抛物线：xxy22121（1）求抛物线1y的顶点坐标.（2）将抛物线1y向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线2y，求抛物线2y的解析式.（3）如下图，抛物线2y的顶点为P，x轴上有一动点M，在1y、2y这两条抛物线上是否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由.【提示：抛物线cbxaxy2（a≠0）的对称轴是，abx2顶点坐标是abacab44,22】解：（1）依题意0,2,21cba……………1分∴2)21(222ab，2)21(4204422abac……3分∴顶点坐标是（2，2）………………………4分（2）根据题意可知y2解析式中的二次项系数为21…………………5分且y2的顶点坐标是（4，3）……………………6分∴y2＝－3)4(212x，即：y2＝54212xx……8分（3）符合条件的N点存在……………………………………9分如图：若四边形OPMN为符合条件的平行四边形，则OP∥MN，且MNOP∴BMNPOA，xyy12345678954321-1-2-3-41y2-1xyy12345678954321-1-2-3-41y2-1教育是一项良心工程！欣赏您的孩子，其实天才就在你身边！作xPA轴于点A，xNB轴于点B∴090MBNPAO，则有NMBPOA（AAS）∴BNPA∵点P的坐标为（4,3）∴3PANB……10分∵点N在抛物线1y、2y上，且P点为1y、2y的最高点∴符合条件的N点只能在x轴下方①点N在抛物线1y上，则有：32212xx解得：102x或102x…………………………………………………11分②点N在抛物线2y上，则有：33)4(212x解得：324x或324x…………………13分∴符合条件的N点有四个：)3,324();3,102();3,324();3,102(4321NNNN……………………………………………14分②两定点连接的线段没确定为平行四边形的边时，则这条线段可能为平行四边形得边或对角线例1．如图，抛物线223yxx与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）令y=0，解得11x或23x（1分）∴A（-1，0）B（3，0）；（1分）将C点的横坐标x=2代入223yxx得y=-3，∴C（2，-3）（1分）∴直线AC的函数解析式是y=-x-1（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2）（注：x的范围不写不扣分）则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），（1分）E（2(,23)xxx（1分）教育是一项良心工程！欣赏您的孩子，其实天才就在你身边！∵P点在E点的上方，PE=22(1)(23)2xxxxx（2分）∴当12x时，PE的最大值=94（1分）（3）存在4个这样的点F，当AF为平行四边形的边时：1234(1,0),(3,0),(47),(47)FFFF当AF为平行四边形的对角线时：1234(1,0),(3,0),(47),(47)FFFF例2．已知：如图所示，关于x的抛物线2(0)yaxxca与x轴交于点(20)A，、点(60)B，，与y轴交于点C．（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点D，使四边形ABDC为等腰梯形，写出点D的坐标，并求出直线AD的解析式；（3）在（2）中的直线AD交抛物线的对称轴于点M，抛物线上有一动点P，x轴上有一动点Q．是否存在以AMPQ、、、为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）根据题意，得4203660acac·····································1分解得143ac··················