6第六讲势能机械能守恒功能原理

LawofConservationofMechanicalPotentialEnergy机械能守恒原理•基本概念：势能，机械能•基本规律：功能原理机械能守恒作业：练习3运动定律及其力学中的守恒定律掌握功能原理和机械能守恒掌握运用功能原理和机械能守恒分析问题的思路和方法。教学基本要求：本节内容提纲•一势能•二系统功能原理•三机械能守恒重点：机械能守恒条件•四机械能守恒、功能原理的应用bamMmM[(G)(G)]rrba(mgzmgz)221122ba(kxkx)保守力做功只与始、末位置有关，与路径无关，力对物体作功的结果，使物体能量发生变化，只与位置有关的能量称为系统的势能。用Ep表示。4-3势能:与物体间相互作用及相对位置有关的能量.１．保守力做功特点：barrMmAGdrr2引abbazzAmgdz重abbaxxAkxdx弹ab保守力的功()pbpaPabAEEE()pbpaP=EEE2．势能：两点间的势能差定义：保保ab=drbaAF说明：保守力做功等于势能增量的负值，𝑨保𝟎，∆𝑬𝒑𝟎,势能减少𝑨保𝟎，∆𝑬𝒑𝟎,势能增加注意：1）势能为保守力的施力物体和受力物体组成的系统所拥有，单个物体无势能。2）只有保守力才能引入势能3）势能是状态量，是空间坐标的函数papb=EE或保守力的功等于系统始末位置的势能之差。()pbpa=EE保保=drbaAFpapb=EE注意：4)选b点势能为零，即𝑬𝒑𝒃=𝟎,则：某点a的势能定义paE保=drbaF说明:1.某点势能的大小是相对零势能点而言2.两点间的势能差与零势能点无关保=drbpbaFEpaE某点a的势能地面𝑧𝑏=0为重力零势能点zpmgdzE0重mgz平衡位置（变形为0处）（x=0）弹性零势能点xpkxdxE0弹kx212在无穷远𝒓𝒃=∞为引力零势能点rpMmGdrrE2引mMGr常取:某点a的势能定义paE(0)保=drpbEaF重力势能：弹性势能：引力势能：pEzOmgzEp势能曲线弹性势能曲线0,0pEx重力势能曲线0,0pEz引力势能曲线0,pErxOpE2p21kxErOpEpMmEGr''例1（教材P64例4-4）如图所示弹性系数为k的轻质弹簧挂在天花板上，原长在处，其下挂一质量为m的物体，平衡时物体在O处，且设平衡处为坐标原点和所有势能的零点，求当物体处于处时系统的重力势能、弹性势能及总势能。oo解：建立如图所示坐标系，设平衡时弹簧伸长了x0kxmg0在参考点o处势能为零'o'o(o)=pEFdr保''o'o(o)=pEFdr保1）处重力势能：o00'()()pxEomgdx重0mgx00xmgdx'2）处弹性势能：o00'0()()pxEokxxdx弹2012kx012mgx3）系统总势能''(o)=pppEEoE'弹重（o）012mgx＝xdx4-4、功能原理机械能守恒定律一、功能原理1niiAAAA内内保内非保内EEEAA0非保内外质点系的功能原理：质点系机械能的增量等于外力和非保守内力作功之和。0pp011nnpipiiiA(EE)(EE)保内)()(0p0kpkEEEEAA非保内外机械能：kpEEE011nnkkiiiiAAEE外内质点系动能定理注意：1）功能原理给出的是机械能的改变与功的关系，只须计算保守内力之外的其它力的功。2）功能原理也只适用于惯性系。而动能定理给出的是动能的改变与功的关系，应计算包括保守力在内的所有力的功；EEEAA0非保内外质点系的功能原理：)(0pp0kkEEEE当0非保内外AA0EE时，有)()(0p0kpkEEEEAA非保内外功能原理2、机械能守恒定律机械能守恒定律：只有保守内力作功的情况下，质点系的机械能保持不变。表明：如果在某一过程中作用于系统的外力和非保守内力都不对系统作功，或作功之代数和为零，则系统的机械能在该过程中保持不变，即质点系的总机械能是守恒的。pkΔΔEE机械能守恒定律也可以表示为：EEEE00kpkp0非保内外AA1）机械能守恒定律的条件是：说明：)(0pp0kkEEEEb.系统可受外力、非保守内力，再看它们是否做功：0AA外非保内0A非保内0A外a.系统不受外力、非保守内力或2）机械能守恒是指系统总的机械能不变，但系统的动能和势能可相互转化3）指出系统（由哪些物体组成系统），系统范围不同，运用原理不同pkΔΔEE5）质点系的机械能和机械能守恒定律也适用于包含有定轴转动刚体的系统。6）机械能守恒定律只是普遍的能量转换和守恒定律的特殊形式。4）适应惯性系说明：)(0pp0kkEEEE17亥姆霍兹（1821—1894），德国物理学家和生理学家。于1874年发表了《论力（现称能量）守恒》的演讲，首先系统地以数学方式阐述了自然界各种运动形式之间都遵守能量守恒这条规律。所以说亥姆霍兹是能量守恒定律的创立者之一。能量守恒定律例题1:如图，一柔软链条长为l,桌面光滑，悬垂长度为b。开始链条静止。求：当链条全部脱离桌子时的速度。解法一：b(l-b)选链─桌─地系统机械能守恒建坐标（重力势能零点在原点）y000()2mbEbgl22(1)bvgll得21()22lEmvmg21()()222mblbgmvmgl解法二：动能定理212LbmygdymvLb(l-b)y022(1)bvgllmv2102取整个链子为研究对象ydy例题1:如图，一柔软链条长为l,桌面光滑，悬垂长度为b。开始链条静止。求：当链条全部脱离桌子时的速度。受力分析：只有重力做功，由动能定理：G(y)LbG(y)dyb(l-b)y0方法三：由牛二律求解。设t时刻链条下落y，桌面上还有（L-y）22(1)bvgll取整个链子为研究对象mmy:ygT(y)ya()LL1m(Ly):T(y)(Ly)a()L2LvbgydyvdvvL2012y（1）+（2）受力分析：只有重力，由牛二律：dvmdtmgymaLdvdymdydtdvmvdy例2有一轻弹簧,其一端系在铅直放置的圆环的顶点P,另一端系一质量为m的小球,小球穿过圆环并在圆环上运动(不计摩擦).开始小球静止于点A,弹簧处于自然状态,其长度为圆环半径R;当小球运动到圆环的底端点B时,小球对圆环没有压力.求弹簧的劲度系数.解:以弹簧、小球和地球为一系统，30oPBRABA只有保守内力做功系统机械能守恒ABEE0pE取图中点为重力势能零点B又B点运用牛顿第二定律BkRmgm()R22v所以Rmgk2即BmkRmgR(sin)()2211230122v30oPBRA0pE系统机械能守恒ABEE,图中点为重力势能零点B解：第二宇宙速度—摆脱地球束缚的逃逸速度例题3：由地面沿铅直方向发射质量为m的宇宙飞船，如图所示。试求宇宙飞船能脱离地球引力所需的最小初速度。不计空气阻力及其它作用力。1.对象：飞船、地球组成系统2.受力分析：保内：万有引力；非保内：无；外力作用忽略（空气阻力）3.系统机械能守恒：初态机械能：20212mMEmvGR末态机械能：0v0E2v最小0MmGr机械能守恒22102mMmvGR32211.210/GMvmsR112266725910.GNmkg引力常量地球质量地球半径.Mkg2459810R.m663710第二宇宙速度第一宇宙速度——绕地球作圆运动的环绕速度•维系飞船绕地球作园运动的力只有万有引力，•由牛顿第二定律：GMvr1GMv.(M/S)R3179110r(Rh)RmvMmGrr212hR第一宇宙速度:第三宇宙速度—摆脱太阳系束缚的速度对于飞船(m)与太阳(Ms)所组成的系统，令Rs为太阳半径。系统机械能守恒：初态机械能：20312ssmMEmvGR23102ssmMmvGR33242.210/ssGMvmsR飞船相对于太阳的速度机械能守恒末态机械能：0v0E3v最小0sMmGr飞船相对于太阳的速度33242.210/ssGMvmsR由于地球相对于太阳速度为29.88×103m/s,如果让飞船发射方向与地球公转方向一致，则飞船发射速度为v...(m/s)3333422102981012410vvv地太船太船地静系Ss动系运动的物体—太阳—地球—飞船:v船地-vvv地太船地船太飞船相对于地球的速度飞船摆脱太阳引力在地球上的发射速度，以上计算忽略了地球引力，。mvmvmv222323111222飞船相对于地球的速度v.(m/s)33124103211.210/vms第二宇宙速度飞船在摆脱太阳引力的同时必须摆脱地球引力，所以发射能量必须满足：第三宇宙速度：vvv.(m/s)22332316710vRmME0E=0E0E=0如图的系统，物体A，B置于光滑的桌面上，物体A和C,B和D之间摩擦因数均不为零，首先用外力沿水平方向相向推压A和B，使弹簧压缩，后拆除外力，则A和B弹开过程中，对A、B、C、D组成的系统讨论（A）动量守恒，机械能守恒.（B）动量不守恒，机械能守恒.（C）动量不守恒，机械能不守恒.（D）动量守恒，机械能不一定守恒.DBCADBCA32例：如图所示，轻质弹簧劲度系数为k，两端各固定一质量均为M的物块A和B，放在水平光滑桌面上静止。今有一质量为m的子弹沿弹簧的轴线方向以速度0射入A物块而不复出。求：此后弹簧的最大压缩长度。解：第一阶段：子弹射入到相对静止于物块中。A0)(υmMυm0A)(υmMmυ由于时间极短，可认为物块还没有移动，应用动量守恒定律，求得物块A的速度AABm033第二阶段：A移动，直到当A和B有相同的速度时，弹簧压缩最大。应用动量守恒定律，求得两物块的共同速度A)()2(mMmMA)2()(υmMmMυ0)2(υmMm应用机械能守恒定律，求得弹簧最大压缩长度。2A22)(2121)2(21υmMkxυmM)2)((0mMmMkMυmxABm034例：用一轻弹簧（k）将质量分别为m1，m2的两水平木板A和B连在一起，m2放在地面上。求：1）若以m1在弹簧上的平衡静止位置为重力势能和弹性势能的零点，写出系统（m1、弹簧、地球）的总势能表达式；2）至少需用多大的压力F加于上板，才能在该力撤去后，恰好使m2离开地面?m1m2Fy0解：1）选系统：m1–g–k，建坐标如图。重力势能零点和弹性势能零点都选在坐标原点。平衡时有：kgmy10=,=10gmky35m1m2F1y0y0在任一位置y处，体系的重力势能为：011kyygymEp体系的弹性势能为：0220200022121)(21)(kyykykyyykdyyykEyp体系的总势能为：22121kyEEEppp式中y为相对于平衡位置的位移。y36m1m2F1y02yy0以加力F时为初态，撤去F后弹簧恰使m2提起为末态。整个过程只有保守力作功，系统机械能守恒，有：22212121kyky又因恰能提起m2时，gmyyk202)(gmkykyF101,而12()Fmmg可得：2）初态：01kE21121kyEp，末态：02kE22221kyEp，37例：一质量为m的小球，由顶端沿质量为M的圆弧形木槽自静止下滑，设圆弧形槽的半径为R，忽略所有摩擦。求：1）小球刚离开圆弧形槽时，小球和圆弧形槽的速度各是多少？2）小球滑到B点时对槽的压力。3）m从A滑到B的过程中，m对M所作的功？