10第十讲刚体定轴转动中的功和能对定轴的角动量守恒

15.4刚体定轴转动中的功和能5.5对定轴的角动量守恒定律2教学基本要求1理解力矩的功，刚体转动动能。2掌握刚体转动的动能定理掌握刚体定轴转动的角动量守恒定律3能运用转动的动能定理和角动量守恒定律分析和解决刚体定轴转动的力学问题。作业：练习5刚体定轴转动中的功和能及角动量守恒定律本节内容提纲1力矩的功，刚体的转动动能。2刚体定轴转动的动能定理3刚体定轴转动的角动量守恒定律力矩的空间累积效应力矩的功，转动动能，动能定理。力的空间累积效应力的功，动能，动能定理。5.4刚体定轴转动中的功和能一.力矩的功rdFdA||sinrdφFdsφFsinθdφFrsinsinFrMdAMd刚体在力作用下绕轴转过一微小角位移d，F力作功为：F21AMd力矩的功：刚体绕定轴转动时，力矩对转动物体作的功等于相应力矩和角位移的乘积。cosFdr2力矩的元功：Or'rdrdθP.F21AMd力矩的功：1）若M的大小、方向不变—恒力矩，AM2）力矩做功的正负MAMAd，d，与同号则为正与异号则为负5）力矩对定刚体空间累积作用效果——力矩的功。4）如果刚体同时受到N个外力时，这N个外力使刚体转过d角的过程中，所作的总功为：3FdrMd与对同一物理过程两种不同表述，不能）重复计算为合外力矩。iMM讨论：dAdM1dNiiA1dNiiMdAMd力矩的功率：可见，力矩的功率等于力矩与角速度的乘积。1、定义：单位时间内力矩对刚体所作的功。2、公式：功率一定时，转速越大，力矩越小；转速越小，力矩越大。表示力矩对刚体作功的快慢。zzMtddMtdAdPzOirivim设系统包括有N个质量元，NimΔmΔmΔmΔ,,,,,21Nirrrr,,,,,21Nivvvv,,,,,21221iikimΔEv2221ωrmΔii刚体定轴转动的总动能为：P•，其动能为：imΔ取二、刚体的转动动能221iiikmΔEv22)(21ωrmΔiii（刚体上所有质元的动能之和。）各质量元速度不同，但角速度相同。221ωJEk92122211122dAMJJ三、刚体绕定轴转动的动能定理21dAM合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功，等于刚体转动动能的增量。21dJ刚体：各质量元间无相对位移，所以内力矩不做功。质点系：外力和内力的功对质点系的动能变化均有影响。21kkkAEEE21dddJt刚体的重力势能，可看作是刚体质量全部集中在其质心处，按质心的重力势能来计算。cmghiiipghmΔE)(mgmhmΔiiich0PECimihcpmghE刚体重力势能为：刚体的动能：221ωJEk刚体的重力势能：CmghωJE221CpmghE刚体的机械能：刚体的机械能守恒：CmghωJC221PKEEE质心的势能对于含有刚体的系统，如果在运动过程中只有保守内力作功，则此系统的机械能守恒。例1：一根长为l，质量为m的均匀细直棒，可绕轴O在竖直平面内转动，初始时它在水平位置。求：它由此位置下摆角时的角速度。解：cos2lMmgθθθdθcosmglθdMA002由动能定理：0212ωJ02θsinmgllθsingω32231mlJlθsingω3OlmCxmg棒-对象，受力：重力、轴处支持力2122sinmglJ,0外力A0非保内力A221sin2ωJθlmg231mlJLθgωsin3另解：对杆、地球组成的系统，由机械能守恒定律：例1：一根长为l，质量为m的均匀细直棒，可绕轴O在竖直平面内转动，初始时它在水平位置。求：它由此位置下摆角时的角速度。OlmCxmg此题也可用机械能守恒定律方便求解。0sin2lEmg212EJoRhm'mm例2：一质量为、半径为R的圆盘，可绕一垂直通过盘心的无摩擦的水平轴转动。圆盘上绕有轻绳，一端挂质量为m的物体。问：物体由静止下落高度h时，其速度的大小为多少？设绳的质量忽略不计。'moTFNF'PTFPm2102J为圆盘转过的角度，、分别为圆盘起始和终了时的角速度。000TRFd拉力的力矩对圆盘做功，由刚体绕定轴转动的动能定理可得，拉力的力矩所作的功为：TFTFTFR0TdAFR解：物体由静止开始下落00v解得：ghmmmmmmgh2)2'(2'2v由质点动能定理：oTFNF'PTFPm(3)Rv2102(2)TmghFhm212JTFR2211()22(1)TFRmR另解：用机械能守恒定律求解Mmmghv24:可解出222121mvωJmghoRhm'mmωRv221RmJ例2：一质量为、半径为R的圆盘，可绕一垂直通过盘心的无摩擦的水平轴转动。圆盘上绕有轻绳，一端挂质量为m的物体。问：物体由静止下落高度h时，其速度的大小为多少？设绳的质量忽略不计。'm圆盘、物体m和地球组成的系统由机械能守恒定律，可得：oTFNF'PTFPm一.刚体定轴转动的角动量定理1、刚体定轴转动的角动量LJz5.5对定轴的角动量守恒2、刚体定轴转动的角动量定理182、刚体定轴转动的角动量定理dtLddtJ(ddtdJMzz)由转动定律：)(zzLdJdtdM122121JJJddtMttz（角动量定理的积分形式）定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩，等于其角动量的增量。（角动量定理的微分形式）2()iimrtJt非刚体定轴转动的角动量定理：112221JJtdMtt说明：当变形体绕某轴转动时，若其上各点（质元）转动的角速度相同，则变形体对该轴的角动量为：刚体定轴转动的角动量定理：1221JJdtMttz（J不变）（J变）4）角动量守恒定律是自然界的一个基本定律。2）内力矩不改变系统的角动量。刚体定轴转动的角动量定理1221JJtdMtt二、刚体定轴转动的角动量守恒定律0M常量ωJL，则若外内MM3）在冲击等问题中L常量当刚体受到的合外力矩为0时，其角动量保持不变。讨论1）守恒式中各量必须是对同一惯性系中同一转轴。MJ、、说明1）刚体定轴转动的角动量守恒条件：,0M合外力矩当合外力不为0时，合外力矩可以为0。FFFO当合外力为0时，合外力矩不一定为0；2）角动量守恒的两种情况：若不变，不变；若变，也变，但不变。JJLJ①②常量ωJL即刚体在受合外力矩为0时，原来静止则永远保持静止，原来转动的将永远转动下去。①定轴转动的刚体，不变，J若0izM则恒量ωJL不变，ω大小方向都不变。角动量守恒的两种情况：②定轴转动的非刚性物体，转动惯量可变，2211ωJωJ角动量守恒，则有：就增大，减小时，当就减小；增大时，当ωJωJ保持不变从而ωJ如花样滑冰，跳水，芭蕾舞等。②定轴转动的非刚性物体，，ωJωJ2211ωJωJ即张臂先使自己转动起来收臂大小大小3）物体系的角动量守恒若系统由几个物体组成，各物体对同一个转轴的角动量分别为…，332211,,ωJωJωJ则总角动量为：，iiωJ比如：当研究质点与刚体的碰撞问题时，可以把质点和刚体看成一个系统，在碰撞过程中，系统所受的合外力矩为零，所以系统的角动量守恒。只要整个系统受到的合外力矩为0，则系统的总角动量守恒，即：iiJ恒量角动量守恒是自然界的普遍规律。角动量守恒定律与动量守恒定律及能量守恒定律并称为三大守恒定律，这三大守恒定律的成立有着深刻的内在原因。现代物理学已确认，这些守恒定律是和自然界的更为普遍的属性——时空对称性相联系的。解：把子弹和杆看作一个系统。ωmalmaυm)31(22oa'mυ30223'3malmaυmω例题3一长为l,质量为的杆可绕支点O自由转动。一质量为速率为的子弹射入竿内距支点为处，使杆的偏转角为。问子弹的初速率为多少?mmυa子弹射入杆的过程系统角动量守恒。030oa'mv30mamalmmalmgυ6)3)(2)(32(22222)31(21ωmalm)30cos1(2lgm)30cos1(mga射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统，机械能守恒。223'3malmaυmω29解：碰撞过程角动量守恒:例4：长为2L、质量为m的匀质细杆，静止在光滑的水平桌面上。两个质量、速率均为m和的小球，在水平面内与杆的两端同时发生完全非弹性碰撞（设碰撞时间极短）。求：两小球与杆刚碰后，这一系统的角速度为多少？2mL2(2)JmL2231)2(121mLLmJmm.O解得L76o1o2例5：人与转盘的转动惯量J0，伸臂时臂长为l1，收臂时臂长为l2。人站在不计摩擦的自由转动的圆盘中心上，每只手抓有质量为m的哑铃。伸臂时转动角速度为1，求：收臂时的角速度2。2211ωJωJ,22101mlJJ22022mlJJ2112JωJω转动惯量减小，角速度增加。解：人-对象，受力（重力、转盘支持力）对竖直轴力矩为零，故角动量守恒。()()2201102222JmlJml例6：圆盘（R，M），人（m）开始静止，人走一周，求：盘相对地转动的角度？解：系统对转轴由角动量守恒定律：人地人盘盘地—2mMm盘地人盘22102mRMR人地盘地—M=0在盘上跑一圈的时间（）内，圆盘对地的角位移0t人、圆盘-系统受力：重力、支持力2mMm盘地人盘在盘上跑一圈的时间（）内，圆盘对地的角位移0t2mdtdtMm盘地人盘002==222ttmmdtdtMmMm盘地人盘002ttmdtdtMm盘地人盘随堂小议（1）（2）（3）（4）两人同时到达；用力上爬者先到；握绳不动者先到；以上结果都不对。两人质量相等一人握绳不动一人用力上爬终点线终点线滑轮质量既忽略轮绳摩擦又忽略可能出现的情况是小议链接1两人质量相等一人握绳不动一人用力上爬可能出现的情况是终点线终点线滑轮质量既忽略轮绳摩擦又忽略（1）（2）（3）（4）两人同时到达；用力上爬者先到；握绳不动者先到；以上结果都不对。小议链接2两人质量相等一人握绳不动一人用力上爬可能出现的情况是终点线终点线滑轮质量既忽略轮绳摩擦又忽略（1）（2）（3）（4）两人同时到达；用力上爬者先到；握绳不动者先到；以上结果都不对。小议链接3两人质量相等一人握绳不动一人用力上爬可能出现的情况是终点线终点线滑轮质量既忽略轮绳摩擦又忽略（1）（2）（3）（4）两人同时到达；用力上爬者先到；握绳不动者先到；以上结果都不对。小议链接4两人质量相等一人握绳不动一人用力上爬可能出现的情况是终点线终点线滑轮质量既忽略轮绳摩擦又忽略（1）（2）（3）（4）两人同时到达；用力上爬者先到；握绳不动者先到；以上结果都不对。忽略轮、绳质量及轴摩擦。可应用质点系角动量定理进行具体分析讨论。12mm、质点系1）若，系统受合外力矩为零，角动量守恒。12mm=2211mRmR21得2）若，系统受合外力矩不为零，角动量不守恒。12mm同高从静止开始往上爬2m1m12R系统的末态角动量系统的初态角动量不论体力强弱，两人等速上升。一人用力上爬一人握绳不动0质点的直线运动物理量刚体定轴转动物理量─平动动量pmvω─角速度v─线速度a─线加速度m─质量平动惯性的量度F─力212mv─平动动能LJ─角动量212J—转动动能M─力矩J─转动惯量β─角加速度转动惯性的量度质点的直线运动规律刚体定轴转动规律2201122baAFdrmvmvdpFdt00tpFdtmvmv