材料力学第14章(静不定)

第十四章超静定结构§14–1超静定结构概述§14–2用力法解超静定结构§14–3对称及反对称性质的应用用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构，统称为静不定结构(或静不定系统)，也称为超静定结构(或超静定系统)。在静不定结构中，超过维持静力学平衡所必须的约束称为多余约束，多余约束相对应的反力称为多余约束反力，多余约束的数目为结构的静不定次数。§14-1超静定结构概述静不定问题分类第一类：外力静不定：仅在结构外部存在多余约束，即支反力是静不定的。第一类静不定问题分类第一类：外力静不定：仅在结构外部存在多余约束，即支反力是静不定的。第二类：内力静不定：仅在结构内部存在多余约束，即内力是静不定的。第二类FFFFBFFACFDBCFD静不定问题分类第一类：外力静不定：仅在结构外部存在多余约束，即支反力是静不定的。第二类：内力静不定：仅在结构内部存在多余约束，即内力是静不定的。第三类：混合静不定：在结构外部和内部均存在多余约束，即支反力和内力是静不定的。第三类分析方法1.力法：以未知力为基本未知量的求解方法。2.位移法：以未知位移为基本未知量的求解方法。一、力法的基本思路（举例说明）解：①判定静不定次数（一次）[例1]如图所示，梁EI为常数。试求支座反力，作弯矩图。§14-2用力法解超静定结构②选取并去除多余约束，得到静定基，见图(b)。ClFABl(a)X1F(b)CAB⑤列出变形协调方程：01③加上原载荷,④加上多余约束反力，应用叠加法：11111XX由F1FB11XX101111XFA11101111XF∴变形协调方程01111FX或：——力法正则方程系数δ11和Δ1F可由莫尔定理(积分或图乘)求得(图c、d))]265()21[(11llPlEIF)]232()2221[(111lllEIAB1(d)(c)FBPl2lEIPl653EIl38306538313EIFlXEIlFX1651CFAB165F④求其它约束反力由平衡方程可求得A端反力，其大小和方向。⑤作弯矩图，见图(e)。1611F83Fl(e)–83Fl165Fl+注意：对于同一静不定结构，若选取不同的多余约束，则基本静定系也不同。本题中若选固定段处的转动约束为多余约束，基本静定系是如图所示的简支梁。CFABX1二、力法正则方程01111FX11——在基本静定系上，X1取单位值时引起的在X1作用点沿X1方向的位移；变形协调方程的标准形式，即所谓的力法正则方程。X1——多余未知量；1F——在基本静定系上，由原载荷引起的在X1作用点沿X1方向的位移；力法解超静定的基本步骤：①判定静不定次数②选取并去除多余约束，代以多余约束反力。⑤建立力法正则方程：③画出两个图：原载荷图和单位力图。④计算正则方程的系数：1F和11程，两图互乘得1F，单位力图自乘得11。01111FX试求图示曲杆的支座反力。[例2]OFAaOjFAX1OjA１BOjFABOj1FAOj1A１B2F2F１)cos(2)(11jjRRFM)cos1(21jFR11sin)(jjRMj2j2)cos(2)(22jjRRFM)cos1(22jFR22sin)(jjRM201111d)()(2jjjEIRMMF201113dsin)cos1(jjjEIFREIFR23Oj1FAOj1A１B2F2F１11sin)(jjRMj2j222sin)(jjRM2011111d)()(2jjjEIRMM201123dsin2jjEIREIR2301111FXFX1求解图示静不定结构的拉杆CD的轴力。设刚架ABC的抗弯刚度为EI，拉杆CD的轴向刚度为EA。解：①刚架有一个多余约束。③建立力法正则方程[例3]01111FX②选取并去除多余约束，代以多余约束反力，得到相当系统。④计算系数11和自由项1FFaABaCDFaABaCDX1X1011111FXFaABaCDX1X1FaaCDaCD11Faaa)21(11aaFaEIF11EIFa23EAa]3221[1aaaaaaEIEIaEAa343)34(221AaIFX试画出图示刚架弯矩图，刚架EI为常数。解：①刚架有一个多余约束。③建立力法正则方程[例4]01111FX②选取并去除多余约束，代以多余约束反力，得到相当系统。④计算系数11和自由项1FqaABaX1qAB32221[121aaqaEIF3221[111aaaEIAB1图M22qa22qa图MaaqAB]852322aaqaEIqa834EIa323]3221aaa2qa2qaqa11108332413EIqaXEIa01111FX1691qaX⑤代入力法正则方程：得X1qAB169qaX1qAB169qa167qa16qa16qaX1qAB169qa167qa16qa16qa162qa162qa512492qa试画出图示刚架弯矩图，刚架EI为常数。解：①刚架有一个多余约束。③建立力法正则方程[例5]01111FX②选取并去除多余约束，代以多余约束反力，得到相当系统。④计算系数11和自由项1FaABaaFX1aABaaF]22221[11aaFaEIFaaaEI32221[1112Fa图MABF图M1BaaEIFa43]3221aaaEIa301111FX41FX2F2F0121214FX1aABaaF图MFa83Fa41Fa41已知各杆的EA相等，求各杆的内力。[题14-５(b)](P52)X1X111111XF01切口两侧截面的相对位移等于零：001111FXFlD312FlD312sin21FF011lD312FlD312sin23FF02Fcos211Fcos213F12FF1EA1iiNiNlFF11EA1iiNiNlFF01111FX已知：F，a，EA，求桁架各杆的内力。[例14-2]FABaaDC432156X1X1ABDC432156F1111XF0切口两侧截面的相对位移等于零：001111FXABDC4321561ABDC4321561FNFNF计算计算杆件编号FNiliFNilili1－F1a－Faa2－F1a－Faa301a0a401a0a5Fa60a0(P78)表14.1iFN2Fa222)222(Faa)21(4iiNiNlFF222a22a22iiNiNlFFiFNiFNiFNFaEA)222(EAa)21(4EAF11EA1111111FX01111FX2FiiNiNlFFiiNiNlFFFABaa432156X1AB432156X1F2F2F求桁架各杆的内力应用叠加法求桁架各杆的内力ABDC432156FABDC4321562F2F应用叠加法求桁架各杆的内力杆件编号FNi1－F1－F/22－F1－F/2301F/2401F/25FF/60－F/(P78)表14.12221NNNXFFFiiPi22iFN求三杆的轴力，各杆的EA相等。解：[题2-43]F132laaF132laaX1X1F132laa1132laa1FF1N0N2F0N3F211NF1N2F213NFiiiFlFFEA1NN1EAFl2EAl23iiilFFEA1NN111111FX01111FX3FFN3F132aaX1FN1A1X3F63NFF651NFF试画出图示刚架弯矩图，刚架EI为常数。解：①刚架为二次超静定。②选取并去除多余约束，代以多余约束反力，得到相当系统。③建立力法正则方程01212111FXX④计算系数11、12、22和自由项1F、2F例BqaAaqABX1X202222121FXXqAB221qaMF图AB1aaM1图AB1aM2图)(34111323222111MMEIaaaaaEI)(2121322112MMEIaaaEI)(312233222122MMEIaaaEI)(6114221311MMEIqaaqaaEIFF)(812443221312MMEIqaaqaaEIFFqaXqaX2857121⑤代入力法正则方程：0623442313EIqaXEIaXEIa083242313EIqaXEIaXEIa⑥画弯矩图qAB7qa72qa72qa22815qa285qa试画出图示刚架弯矩图，刚架EI为常数。解：①刚架有三个多余约束。[例6]②选取并去除多余约束，代以多余约束反力，得到相当系统。qaABaX1ABqBX2X3③列出变形协调方程：010203（X1方向上的位移）（X2方向上的位移）（X3方向上的位移）ABBX3032111111XXXPABqBX1ABBABBX201313212111PXXX032122222XXXP02323222121PXXX032133333XXXP03333232131PXXX应用叠加法对于有n个多余约束反力的静不定系统的正则方程如下：00022112222212111212111nPnnnnnPnnPnnXXXXXXXXX由位移互等定理知：jiijij影响系数，表示在基本静定系上由Xj取单位值时引起的在Xi作用点沿Xi方向的位移；iP自由项，表示在基本静定系上，由原载荷引起的在Xi作用点沿Xi方向的位移。一、对称结构的对称变形与反对称变形结构几何尺寸、形状，构件材料及约束条件均对称于某一轴，则称此结构为对称结构。当对称结构受力也对称于结构对称轴，则此结构将产生对称变形。若外力反对称于结构对称轴，则结构将产生反对称变形。E1I1E1I1EI对称轴E1I1E1I1EI对称轴E1I1E1I1EI对称轴§14-3对称及反对称性质的应用正确利用对称、反对称性质，则可推知某些未知量，可大大简化计算过程：对称变形对称截面上，反对称内力为零或已知；反对称变形反对称截面上，对称内力为零或已知。例如：对称轴FFFX3X2X1FX3X2X1X3FX1X3FX1由于对称性，反对称内力为零：X2=0又如：对称轴FFX3X2X1FFX3X2X1FX2FX2由于载荷的反对称性，对称内力为零：X1=0，X3=0试求图示刚架的全部约束反力。刚架EI为常数。解：取左边一半计算01111FX[例3]2aaaqqqqX1X1011111FXEIqaF8941EIa3731108937413EIqaXEIa则qaX56271由平衡方程求得：，5629qaFA562qaMAq1MAFAqqaX56271Aaa22qa22qa试画图示刚架弯矩图。刚架EI为常数。解：[例7]2aaaFF/2F/2X1X2X1X2图示刚架有两个多余未知力。但由于结构是对称、载荷对称，故对称轴横截面上反对称内力X2为零，只有一个多余未知力X1，只需列出一个正则方程求解。试画图示刚架弯矩图。刚架EI为常数。解：01111FX[例7]2aaaFF/2F/2X1X1图示刚架有两个多余未知力。但由于结构是对称、载荷对称，故对称轴横截面上反对称内力X2为零，只有一个多余未知力X1，只需