9第九讲刚体定轴转动定律

15.3刚体定轴转动定律2教学基本要求1理解刚体对定轴的力矩、角动量和转动惯量概念.2掌握刚体绕定轴转动的转动定律.3能运用转动定律分析和解决刚体定轴转动的力学问题。本节内容提纲1.刚体对定轴的力矩、角动量和转动惯量概念。2.刚体绕定轴转动的转动定律.Pz*OFdMFd:力臂d刚体绕Oz轴旋转，力作用在刚体上点P，且在转动平面内，为由点O到力的作用点P的径矢。FrFrM对转轴z的力矩FM补充内容：力对转轴的力矩rrFM或写成：sinMFrzOkrzFFFFrkMzθrFMzsin1）若力不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量：F其中对转轴Z的力矩为零，故对转轴Z的力矩为：zFF讨论：zFFF只计算垂直于转轴方向的力对转轴的力矩即可。0,0iiMF0,0iiMFFFFF2）合力矩等于各分力矩的矢量和。321MMMM注意：合力矩与合力的矩是不同的概念，不要混淆。jiijMMjririjijFjiFdOijMjiM3)刚体对转轴的力矩：ijjiFFsinjijjFr说明：1.沿同一作用线的大小相等，方向相反的两个力对转轴的合力矩为零2.由于刚体内质点间的作用力总是成对出现的，故刚体内各质点间的作用力对转轴的合内力矩应为零04）计算力对轴的力矩时，可用正负号来表示力矩的方向。设刚体由n个质点—质点系组成(一对内力的力矩)sinjjrijMsinijiiFrsiniirdmo例：一匀质细杆，长为l质量为m，在摩擦系数为的水平桌面上转动，求：摩擦力的力矩M阻。解：dmdxxx细杆的质量密度：lm质元质量：dxdm质元受阻力矩：dmgxdM阻细杆受的阻力矩：阻阻dMM221glmgl21lgxdx0杆上各质元均受摩擦力作用，但各质元受的摩擦阻力矩不同，靠近轴的质元受阻力矩小，远离轴的质元受阻力矩大，微元法：R例：如图一圆盘面密度为σ，半径为R，与桌面的摩擦系数为μ，求：圆盘绕过圆心且和盘面垂直的轴转动时，圆盘所受的摩擦力矩。O解：取一小环为面元，其质量为rdrdf若圆盘以ω0的初角速度转动，圆盘转多少圈静止？drgrπμσdM22drr2dmgdmμdfdrgrπμσ2dfrdMdrgrπμσ22RdrgrM022332gR问题：10一、刚体定轴转动的角动量ωOirz刚体上任一质元在垂直于z轴的平面内作圆周运动。im2iiiiiiLmrmr刚体对固定轴的角动量为：2iizrmL)(2iirm对z轴的角动量沿z轴正向，大小为：2iizrmJ——刚体对z轴的转动惯量。（所有质元的角动量之和）imivLrm11ωJLzz刚体对z轴的角动量为：即：刚体绕定轴转动时，对转轴的角动量，等于刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。强调：对于刚体的定轴转动，我们用角动量来描述，而不用动量来描述。2iizrmJ——刚体对z轴的转动惯量ωOirimivz对确定的刚体、给定的转轴，转动惯量是一常数。刚体对固定轴的转动惯量，等于各质元质量与其到转轴的垂直距离平方的乘积之和。刚体的转动惯量的大小：1）与刚体的总质量、形状、大小有关。2）与质量对轴的分布有关。3）与轴的位置有关。,2iirmJ二、刚体定轴转动的转动惯量（MomentofInertia）mrJd2质量不连续分布质量连续分布定义：─质量元dm─第i个质点的质量im─到转轴的距离irimr─到转轴的距离dm质量离散分布刚体的转动惯量：2222112rmrmrmJiii转动惯性的计算方法质量连续分布刚体的转动惯量：mrJd2：质量元md线分布体分布面分布dldm:质量线密度dSdm:质量面密度dVdm:质量体密度一般地,只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体才能用积分计算出刚体的转动惯量。对于形状复杂的刚体通常通过实验测得其转动惯量。参见教材p85几种常用刚体的转动惯量15若连接两小球（视为质点）的轻细硬杆的质量可以忽略，则：转轴2iirmJ222211rmrm2iirmJ222211)60sin()60sin(lmlm转轴例1：可视为分离质点结构的刚体例2如图所示，套两个质点的轻质细杆，长为l，求:通过o点并垂直杆的轴的转动惯量。将两质点换位再作计算。解：由2iiiJmr232ml()22122lJmmlom2m294ml()22222lJmml结论：21JJo2mm2llMoR例3：半径为R质量为M的圆环，绕垂直于圆环平面的质心轴转动，求：转动惯量J。解：dmdmRJM02质量元dm，各质量元到轴的距离相等，MdmR022MR绕圆环质心轴的转动惯量:2MRJ微元法：2dJRdm18403π2dπ2RrrJR解：设圆盘面密度为，rrmdπ2d圆环质量：221mRJrrmrJdπ2dd32圆环对轴的转动惯量：例4：一质量为、半径为的均匀圆盘，求：通过盘中心O并与盘面垂直的轴的转动惯量。mR圆盘的转动惯量为：2mR在盘上取半径为，宽为的圆环。rdrlO´O解：设棒的线密度为ml,ddmrlrrJ02drd32/02121d2lrrJl231mlrrrmrJddd22例5：一质量为、长为的均匀细长棒，求：通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量。ml2l2lO´O2121ml如转轴过端点垂直于棒：转动惯量与轴的位置有关。r取一距离转轴OO´为处的质量元：rrd2mdJJCO平行轴定理P转动惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置.质量为的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为，则对任一与该轴平行，相距为的转轴的转动惯量CJmddCOm注意2221mRmRJP如：圆盘对P轴的转动惯量RmO解：绕细杆质心的转动惯量为：2112CJml绕杆的一端转动惯量为:221122lJmlm231mllCO例6：再以长为l、质量为m的匀质细杆，绕细杆一端轴转动为例，利用平行轴定理,求：转动惯量J。22例7：如图所示，求：刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量？(棒长为L、圆半径为R），2131LmJLL221RmJOO22dmJJOOL222)(2131RLmRmLmJOOLLmOmO’O’()2212OOmRmLR牛顿第二定律指出：力使质点产生加速度。事实表明：要改变一个物体的转动状态，使之产生角加速度，光有力的作用是不够的，必须有力矩的作用。比如：门绕轴的转动。对刚体动力学规律的研究可以比照质点动力学规律的方式进行，只要把线量换成相应的角量就行了。刚体定轴转动中的角加速度是怎样产生的呢？力矩：反映力的大小、方向、作用点对物体转动的影响。三、刚体定轴转动定律（TheoremofRotation）Ozim刚体定轴转动定律的推导：取刚体内任一质元Δmi，它所受合外力为，内力为。iFif（只考虑合外力与内力均在转动平面内的情形。）iiiiamfF对Δmi用牛顿第二定律：（法向力作用线通过轴，力矩为零。）两边乘以ri：iitiiitiitramrfrF2iiiitiitrmrfrF求和：iriFif2iirmitiititamfF切线方向：)(2iiiitiitrmrfrF用M表示合外力矩，有：βJM——转动定律刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。说明:3）M、J、是对同一轴而言的。4）具有瞬时性，是力矩的瞬时效应。2）是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。5）刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。合外力矩内力矩的和（为零）βJ1）刚体的转动惯量是刚体转动惯性的量度。转动定律的应用解题步骤：1）确定研究对象，采用隔离法；2）受力分析，画出受力图，找出力矩；3）建坐标；4）列方程；5）解方程，进行必要的讨论。βJM注意:1）力矩与转动惯量必须对同一转轴而言的；2）可先设定转轴的正方向，以便确定已知力矩或角加速度、角速度的正负；3）系统中既有转动物体又有平动物体时，则：对转动物体按转动定律列方程；对平动物体按牛顿定律列方程。例8：定滑轮半径为r，质量为M,轮轴无摩擦，绳子质量忽略，不伸长、不打滑.求：1）当m2与桌面间的摩擦系数为μ时，求物体的加速度a及张力T1与T2各为多少？2）若桌面光滑，再求以上各量。解：2m1mJ1mg2mg力和力矩分析，按隔离法，建坐标。y0对质点用牛顿定律对刚体用转动定律ar222Tmgma12TrTrJ111mgTma限制性条件212JMR2T2T1T1T2812212/mmagmmJr解得：22211212(/)/mmJrTmgmmJr21122212(/)/mmJrTmgmmJr例9：一长为质量为匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O相接，并可绕其转动。由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O转动。试计算：细杆转动到与竖直线成角时的角加速度和角速度。lm解：细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得：NF)cos1(3θlgω式中231mlJddddddddtt得θlgβsin23由角加速度的定义:θθlgωωdsin23dsin2lmgJθωθlgω002cos2321由转动定律得：sin003dd2gl例10：物体m1m2，定滑轮（R，m）轮轴无摩擦，绳子质量忽略，不伸长、不打滑。求：重物的加速度及绳中张力。解：βRa=轮轴无摩擦轻绳不伸长轮绳不打滑（转动）（平动）（线-角）Rm1m2mT2m1gm2gT1T2T1aa111mgTma222Tmgma12TRTRJ221=mRJ1211112122()/2mmmmTmgagmmmgmmmmmmmagmT2/212)(2122122gmmmmmRRaβ)2/(121212/)(2121mmmgmmaT2m1gm2gT1T2T1aa解得：如果考虑轴上摩擦力矩（Mf不为0）时为：12fTRTRMJfMT2m1gm2gT1T2T1aa解：βRa=111mgTma222Tmgma221=mRJ2/)212(2111211MmmRMmgmmmmTf2/)212(2122212mmmRMmgmmmmTf2//)(2121mmmRMgmmaffMT2m1gm2gT1T2T1aa若不计轴上摩擦、不计滑轮质量（Mf=0,m=0），有：2121)(mmgmmagmmmmTT2121212解得：2121)(mmgmmagmmmmTT2121212若不计轴上摩擦、不计滑轮质量（Mf=0,m=0），有：Rm1m2m111mgTma222TmgmaAFFMgMg作用的系统有两个对象F直接作用在滑轮上2BFRMRJAAFJFRRJBTRJ隔离法AB得练习：一轻绳绕在半径r的飞轮边缘，A:以重量P=98N的物体挂在绳端,B:在绳端施以F=98N的拉力，飞轮的转动惯量J，飞轮与转轴间的摩擦不计。求：A和B角加速度哪个大？B2BMgRMRJA:MgB:TTBMgTMa平动转动BBaR38通过o点且垂直于三角形平面的轴的转动惯量为JO=1）正三角形的各顶点处有一质点m，用质量不计的细杆连接，系统对通过质心C且垂直于三角形平面的轴