二次根式基础专题

1二次根式知识梳理二次根式：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．二次根式的性质1.非负性：aa()0是一个非负数．2、()()aaa20．3.aaaaaa200||()()4.公式aaaaaa200||()()与()()aaa20的区别与联系（1）a2表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数．（2）()a2表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数．（3）a2和()a2的运算结果都是非负的．最简二次根式：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式．同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用aaa来确定，如：aa与，abab与，ba与ba等分别互为有理化因式。②②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如ab与ab，abab与，axbyaxby与分别互为有理化因式。例．写出一个无理数，使它与32的积为有理数_____________；分母有理化的方法与步骤：先将分子、分母化成最简二次根式；将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。二次根式的乘除1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。2ab=a·b（a≥0，b≥0）2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。a·b＝ab．（a≥0，b≥0）3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根ab=ab（a≥0，b0）4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。ab=ab（a≥0，b0）二次根式的加减需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。二次根式的混合计算与求值1、确定运算顺序；2、灵活运用运算定律；3、正确使用乘法公式；4、大多数分母有理化要及时；5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；根式比较大小1、根式变形法当0,0ab时，①如果ab，则ab；②如果ab，则ab。2、平方法当0,0ab时，①如果22ab，则ab；②如果22ab，则ab。3、分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较。4、分子有理化法通过分子有理化，利用分母的大小来比较。5、倒数法6、媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①0abab；②0abab8、求商比较法它运用如下性质：当a0，b0时，则：①1aabb；②1aabb例１．比较大小：-32___________-23；例２．已知a、b为两个连续整数，且a＜7＜b，则a+b=_________；二次根式的概念3形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。例１．下列各式一定不是二次根式的是（）A、2aB、5C、1442xxD、62a例2.下列与2是同类二次根式的是（）A．3B．12C．8D．2-11．判断下列各式哪些是二次根式（）(1)16；（2）42x4)4();0x(x3)3(;4x4x２．写出下列各等式成立的条件（1）x2x42（2）x2)2x(2（3）3x3x9x32（4）3x2x3x2x)5(;2xx2xx（５）3232xxxx例２．下列式子是最简二次根式的是（）A、b8B、222nmC、x3.0D、212１.下列根式中不是最简二次根式的是…………………………………………………（）A．10B．8C．6D．2２.如果最简二次根式3a-3与7-2a是同类二次根式，那么a的值是________；取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。4例．若22)2()2(xx，则x的取值范围是１．当ｘ时，53x有意义。２．当ｘ＜２时，2)2(x＝３．若12aa，则a应是（）A、负数B、正数C、非零实数D、有理数４．二次根式1a中，字母a的取值范围是（）A、a＜1B、a≤1C、a≥1D、a＞1５．若使代数式32x有意义，则x的取值范围是（）A、x≠2B、x≥2C、x＞2D、x≤4６．若化简︱1-x︱-1682xx的结果为2x-5，则x的取值范围是（）A、x为任意实数B、1≤x≤4C、x≥1D、x≤4７．x为何值时，下列各式在实数范围内有意义（1）xxxxxxxx113)5(2162)4(||2)3(||4)2(4８.二次根式1-a中，字母a的取值范围是…………………………………………（）A．a＜1B．a≤1C．a≥1D．a＞1９.已知12-n是正整数，则实数n的最大值为………………………………………（）A．12B．11C．8D．3１０.使式子4-x无意义的x取值的是______________；二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。例．若，则a=,b=１．若，则a=,b=5２.若x-23-x=x-23-x成立，则x满足________________；３.已知x、y是实数，且满足y=x-6+6-x+1（1）求x和y的值；（2）求x+2y的值。二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则．例．如，则3；25１.已知一个正数的平方根是2x-6和x+3，则这个数是___________；２.把二次根式313中根号外的因数移到根号内，结果是______________；二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；例．22＝１．中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；２．化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。３．如果0|3x|yxy2x22，求y-2x的算术平方根。6４．已知7xx4425x10x22，求x的取值范围。５.若(3-b)2=3-b，则（）A．b＞3B．b＜3C．b≥3D．b≤3与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而例．若a＜0，则ba2化简为（）A、baB、-baC、baD、-ba１．当ａ时，22)(aa二次根式的乘除法基础知识1.计算：23________;369__________2.)0,0(3010yxxyxy3．计算：ba10253______．4.使等式1111xxxx成立的条件是。5.当0a，0b时，3__________ab。6、若x3+3x2=－xx+3，则x的取值范围是。7．化简二次根式352)(得（）A．35B．35C．35D．308.若424Aa，则A（）7A.24aB.22aC.222aD.224a9．下列名式中计算正确的是（）A.842164)16)(4(B.0482aaaC.7432423D.2241404140414091910.若1a，则31a化简后为（）A.11aaB.11aaC.11aaD.11aa11.计算:（1）821（2）31025（3）232（4）)521(15412.化简:（1）12（2）2257（3）2000（4）222853能力提升14．当a=3时，则215a______．15.把1aa的根号外的因式移到根号内等于。16．已知233xx＝－x3x，则（）（A）x≤0（B）x≤－3（C）x≥－3（D）－3≤x≤017.23和32的大小关系是（）A.2332B.2332C.2332D.不能确定18.计算:（1）aa82（a≥0）（2）xyx11010（x≥0，y≥0）8（3）2324162xyxy（x≥0，y≥0）19.化简:（1）324ba（a≥0，b≥0）（2）yxx23（x≥0，y≥0）（3）4224baba（ab≥0）能力拓展与探究20．（2006安徽省）计算2-9的结果是（）A.1B.-1C．-7D.521．(2007芜湖市)如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm、B的边长为5cm、C的边长为5cm，则正方形D的边长为（）A.14cmB.4cmC.15cmD.3cm二次根式的加减基础知识１1.把下列各式化成最简二次根式：(1)8=(2)25a=(3)80=(4)348=(5)163=(6)1.8=2.判断正误：对的画“√”，错的画“×”.(1)2+3=5；（）(2)8-3=5；（）(3)2+2=22；（）(4)32-2=3；（）(5)22+2=22；（）(6)43-3=33.（）93.计算：(1)27-67==(2)50+32===(3)112+63===(4)2x-8x===基础知识２1.填空：二次根式加减法的法则是：二次根式加减时，可以先将二次根式化成二次根式，再将相同的二次根式进行合并.2.计算：(1)920-55===(2)16aa+629===3.计算：10(1)80-20+5==(2)18+98-27==(3)124+0.5--68==(4)2x19x+6-2x34x==基础知识３1.计算：4140-5+10510==2.计算：(1)25+7==(2)8-53627===(3)12-37523===11(4)48+3153===3.计算：(1)3+23+3===(2)22+132-2===(3)x+yx-2y===基础知识４1.计算：(1)212-623===(2)5+652-23===2.填空：(1)平方差公式：(a+b)(a-b)=；(2)完全平方公式：(a+b)2=，(a-b)2=.3.计算：(1)4+74-712ba-11O===(2)2210+310-3===(3)23+2===(4)2226-===二次根是综合１.如图所示，实数a、b在数轴上的位置，化简：a2-b2-(a-b)2２.观察下列等式：①12+1=2-1(2+1)(2-1)=2-1；②13+2=3-2(3+2)(3-2)=3-2；③14+3=4-3