等差数列(第二课时)

2.2.2等差数列知识回顾等差数列AAAAAAAAAAAAA每一项与它前一项的差如果一个数列从第2项起，等于同一个常数.......②等差数列的通项公式是关于n的一次函数形式，当d=0时，为常函数。an=a1+(n-1)d等差数列各项对应的点都在同一条直线上.)(1Nndaann【说明】A①公式中Nnn,2Rd几何意义通项公式中项公式递推公式（定义式）定义2baA已知数列{an}通项公式为an=pn+q(p、q是常数),那么这个数列一定是等差数列吗？探究:.nnaapnqp结论数列为等差数列其中为公差若把条件和结论互换，此说法是否仍然成立？判断一个数列是等差数列的常用方法证明一个数列是等差数列常用的方法有：(1)定义法：利用an－an－1＝d(常数)(n≥2且n∈N＋)等价于{an}是等差数列．(2)等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2且n∈N＋)等价于{an}是等差数列．(3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)等价于{an}是等差数列．(1)设c,b为常数，若数列为等差数列，则数列及为等差数列.{}na{}nab{}ncab(2)设p,q为常数，若数列、均为等差数列，则数列为等差数列.{}na{}nnpaqbn{b}小试牛刀间存在什么样的关系？与那么中，若等差数列qnmaaaaqpnmapn,思考：若数列{an}的通项公式为an＝3n＋1，则a1＋a6＝23，a2＋a5＝23，a3＋a4＝23.你能看出有什么规律吗？数列{an}是等差数列，m、n、p、q∈N+，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq。等差数列的性质：推广：若m+n=2p，则am+an=2ap。等差数列的性质应用[典例](1)已知等差数列{an}中，a2＋a4＝6，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝()A．30B．15C．56D．106(2)设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝()A．0B．37C．100D．－37[解析](1)∵数列{an}为等差数列，∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(a1＋a5)＋(a2＋a4)＋a3＝52(a2＋a4)＝52×6＝15.(2)设cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差数列，则{cn}也是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，∴{cn}的公差d＝c2－c1＝0.∴c37＝100，即a37＋b37＝100.[答案](1)B(2)C[活学活用]1．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()A．14B．12C．28D．36解析：选C∵a3＋a4＋a5＝12，∴3a4＝12，则a4＝4，又a1＋a7＝a2＋a6＝a3＋a5＝2a4，故a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.故选C.2．已知数列满足{}na1144,4(2),nnaana令nn1b.a2（1）求证：数列为等差数列；n{b}（2）求数列的通项公式.{}na分析：由等差数列的定义，要判断是不是等差数列，只要看是不是一个与n无关的常数就行了.n{b}nn1bb(n2)【解】(1)证明：∵bn＋1－bn＝1an＋1－2－1an－2＝14－4an－2－1an－2＝an2an－2－1an－2＝an－22an－2＝12.又b1＝1a1－2＝12，∴数列{bn}是首项为12，公差为12的等差数列．(2)由(1)知bn＝12＋(n－1)×12＝12n.∵bn＝1an－2，∴an＝1bn＋2＝2n＋2.练习已知数列满足设求证：（1）数列为等差数列；（2）求数列的通项公式.{}nannnaaa22,11112nnnabnbna，是等差数列数列na)(为公差其中pqpnna数列{an}是等差数列，m、n、p、q∈N+，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq。