微分几何讲义

AnIntroductiontoDifferentialGeometryDr.ZhiyongAlex,Chang.NorthwesternPolytechnicalUniversity“微分几何”要点讲义AnIntroductiontoDifferentialGeometry1.曲线参数方程在一点处的标准展开将曲线在弧长参数0s=处进行泰勒展开()()()()()()23300001!2!3!sssss=++++rrrrro(1.1)上式中()3so表示3s的高阶无穷小.根据Frenet公式，有()()()2000kkkk===−++ΚrΤrNrΤNB(1.2)则曲线可表达为()()()23233306266kkkkssssssosΚ=+−++++rrTNB(1.3)如果将曲线在0s=处的Frenet标架{},,,rTNB取作空间3E的笛卡尔(Descartes)坐标系的标架，则曲线在0s=处附近的参数方程成为()()()()()()233233336266kxsssoskkysssoskzssos=−+=++Κ=+(1.4)上式称为曲线在0s=处的标准展开.上式中坐标函数()xs,()ys,()zs作为参数s的无穷小量的主要部分分别是s,22ksAnIntroductiontoDifferentialGeometryDr.ZhiyongAlex,Chang.NorthwesternPolytechnicalUniversity和36ksΚ,这提示我们可以构造一条新的曲线如下()23,,26kkssssΚ=r(1.5)很显然这是一条三次曲线,并且注意此时参数s不是曲线()sr的弧长参数.考察在曲线在0s=处的各阶导数()[]()[]()[]()[]00,0,001,0,000,,000,0,kk=′=′′=′′′=Κrrrr(1.6)由上式不难看出,曲线()sr在在0s=处的曲率是k,挠率是Κ,并且Frenet标架为{},,,rTNB.因此,曲线()sr与()sr在0s=处具有相同的曲率、挠率和Frenet标架,也共享法平面,密切面和从切面.因此()sr被称作()sr在0s=处的近似曲线,其性质反映了原曲线的性状.图x曲线的Frenet标架近似曲线在密切面上的投影是曲线AnIntroductiontoDifferentialGeometryDr.ZhiyongAlex,Chang.NorthwesternPolytechnicalUniversity2,,02kss(1.7)这是一个抛物线,如图所示TN图x近似曲线在密切平面上投影近似曲面在从切平面上的投影是曲线3,0,6kssΚ(1.8)如图x所示TBK0TBK0图x近似曲线在从切平面上投影近似曲面在法平面上的投影是曲线230,,66kkssΚ(1.9)如图x所示AnIntroductiontoDifferentialGeometryDr.ZhiyongAlex,Chang.NorthwesternPolytechnicalUniversityNBK0NBK0图x近似曲线在法平面上投影从以上图x中可以看出,曲线在0s=处是穿过曲线在该点处的密切平面的.密切面的正方向由副法线B确定.当挠率0Κ时,曲线是从下而上地穿越过密切面;而当挠率0Κ时,曲线是从上而下地穿越过密切面.这就是挠率Κ正号、负号的几何含义。2.正则曲面参数曲面S用(),uv=rr来表示,曲面S在定义区间(),uvD∈内的某点()000,puv=r处分别沿u,v方向两条参数曲线的切向量是()()()()00000000,,,,,uvuvuvuvuvuv∂∂==∂∂rrrr(1.10)如果()00,uuvr与()00,vuvr是线性无关的,也即0uv×≠rr,则称曲面S在点0p处是正则的(Regular).三次以上连续可微的、且处处是正则点的参数曲面，称为正则参数曲面.并且约定矢量uv×rr所指向的一侧为曲面的正侧.3.曲面的切平面和法线曲面上的任意一条连续可微曲线可以用参数方程()(),uutvvt==(1.11)来表示,其中()ut和()vt都是t的连续可微函数.则在空间3E中的曲线的参数方程是()()()(),tutvt=rr(1.12)曲面S上经过点p的任意一条可微曲线在该点的切向量称为曲面S在点p处的切向量.AnIntroductiontoDifferentialGeometryDr.ZhiyongAlex,Chang.NorthwesternPolytechnicalUniversity根据切向量的定义,曲面S经过点p的u向曲线和v向曲线的切向量ur和vr,都是曲面S在点p处的切向量.设p是曲线(1.12)上对应于0t=的点,该曲线在点p处的切向量可以表示为()()()()()000,uvtttdutvtdutdvtdtdtdt====+rrr(1.13)这意味着曲面S在点p的切向量是切向量ur和vr的线性组合,其组合系数恰好是()0tdutdt=和()0tdvtdt=.反之,切向量ur和vr的任意一个线性组合uvab+rr,其中a和b是任意实数,必定是曲面S的一个切向量.对于正则参数曲面,因0uv×≠rr,故ur和vr是线性无关的,因此曲面S在点p的全体切向量构成一个二维矢量空间,称为曲面S在点p的切空间,记为pTS,{},uvrr是该切空间的基底(Bases).该切空间在空间3E中所处的平面，称为曲面S在点p的切平面.此切平面的参数方程是()()()(),,,,uvuvuvuvλµλµ=++Xrrr(1.14)其中,λµ是切平面上点的参数.显然,该切平面的法矢量为()()()()(),,,,,uvuvuvuvuvuvuv×=×rrnrr(1.15)AnIntroductiontoDifferentialGeometryDr.ZhiyongAlex,Chang.NorthwesternPolytechnicalUniversitypurvrnyzxSpTS图x曲面上任意点处的切空间和切平面在空间3E中经过点p,以为方向的直线称为曲面S在点p的法线,它的参数方程是()()(),,tuvtuv=+Xrn(1.16)上式中t为法线上点的参数.4.曲面的第一基本形式正则曲面S在每一点pS∈处的切空间pTS是由切向量ur和vr所张成的二维矢量空间,是3R的子空间.因此,当曲面S上的切向量作为3R中的向量时,可以度量它们的长度和夹角.曲面S上任意一个点处的任意一个切向量可以表达为曲面的微分()()(),,,uvduvuvduuvdv=+rrr(1.17)AnIntroductiontoDifferentialGeometryDr.ZhiyongAlex,Chang.NorthwesternPolytechnicalUniversity其中(),dudv是切向量(),duvr在自然基底{},uvrr下的坐标分量.一般而言,ur或vr都不是单位向量,{},uvrr也并非正交基.但是,如果知道这个基底的度量系数(Metrics),则公式(1.17)所表达的切向量就可以被表示为其分量(),dudv的二次型(QuadraticForm).为此,我们首先令()()()()()()()()(),,,,,,,,,uuuvvvEuvuvuvFuvuvuvGuvuvuv=⋅=⋅=⋅rrrrrr(1.18)它们就是基底{},uvrr的度量系数,这三个标量称为曲面S的第一基本量.将这三个基本量写成一个对称矩阵EFFG(1.19)显然,()()22221cos,0uvuvEGF−=−∠rrrr,并且0E,0G,因此(1.19)是一个正定矩阵.将公式(1.17)所表达的切向量与自身的内积,表达为一个二次微分形式()()()()()()[]22,,2uvuvduvduvdudvdudvEduFdudvGdvEFdududvFGdvΙ=⋅=+⋅+=++=rrrrrr(1.20)称Ι为曲面S的第一基本形式.并且,Ι与曲面S的参数选取是无关的,只与曲面S在空间3E中的几何形状有关,是曲面内蕴的不变量.第一形式Ι所表达的几何意义是曲面S上切向量的长度平方.如果在同一点p处有另一个切向量()()(),,,uvuvuvuuvvδδδ=+rrr(1.21)其分量是(),uvδδ,则切向量dr和δr的内积为()()()()()22212dddEduuFduvdvuGdvvδδδδδδδ⋅=+−−=+++rrrrrr(1.22)AnIntroductiontoDifferentialGeometryDr.ZhiyongAlex,Chang.NorthwesternPolytechnicalUniversity并且有()()()()()()2222cos,22dddEduuFduvdvuGdvvEduFdudvGdvEuFuvGvδδδδδδδδδδδ⋅∠=+++=++++rrrrrr(1.23)这说明,曲面S上两切向量dr和δr彼此正交的充分必要条件是()0EduuFduvdvuGdvvδδδδ+++=(1.24)定理1:在正则参数曲面上参数曲线网是正交曲线网的充分必要条件是(),0Fuv≡.证明,略.定理2:在正则曲面的每一点的某个邻域内,一定存在正交参数曲线网,并且此正交参数曲线网不是唯一的.证明,略.例一.曲面上曲线的弧长设曲面S上的一条连续可微曲线的方程是()()(),uvuutatbvvt==≤≤=rr(1.25)曲线的切矢量为()()()uvtutvt′′′=+rrr(1.26)其模长为()()()()()222tEutFutvtGvt′′′′′=++r(1.27)则曲线定义区间[],ab的弧长为AnIntroductiontoDifferentialGeometryDr.ZhiyongAlex,Chang.NorthwesternPolytechnicalUniversity()()()()()222babaLtdtEutFutvtGvtdt′=′′′′=++∫∫r(1.28)例二.曲面的面积设正则参数曲面S定义在区域D上,现考虑曲面上由四条参数曲线0000,,,uuuuuvvvvv==+∆==+∆所围成的一小块曲面(图x),其面积近似等于在曲面上()00,uvr点处的切平面上,由两个矢量uu∆r和vv∆r所张成的平行四边形的面积σ∆,表达为()()()2sin,uvuvuvuvuvuvuvEGFuvσ∆=∆×∆=×∆∆=∠∆∆=−∆∆rrrrrrrr(1.29)以dσσ=∆为曲面S的面积积分元,则曲面S在定义区域D上的面积是2DDAddudvEGFdudvσ==−∫∫∫∫(1.30)图x曲面的面积积分元例三.求解球面2222xyza++=的第一基本量和球面积.球面的常用参数表示是AnIntroductiontoDifferentialGeometryDr.ZhiyongAlex,Chang.NorthwesternPolytechnicalUniversity()()()()()()coscos,cossinsinaaaβααββαβ=r(1.31)其中参数的取值范围是()0,2απ∈,,22ππβ∈−.注意此方程所表示的是球面上被去除了一条从北极()0,0,a到南极()0,0,a−并且经过点(),0,0a的半个大圆之后剩余的区域.容易计算第一基本量为()222cos0EaFGaβ===(1.32)从上式可以看出,球面在这种参数化形式中,其参数曲线网是正交的.应用公式(1.30),则球表面积为()22422022cos4DAEGFddaddaπππαββαβπ+−=−==∫∫∫∫(1.33)5.曲面的第二基本形式嵌入到三维空间3E中的二维曲面的弯曲性质,也即曲面上每一点是否弯曲,弯曲形态,弯曲程度等,是我们所