关于圆的定理

关于圆的定理割线定理割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等.数学语言：从圆外一点L引两条割线与圆分别交于A、B、C、D则有LA·LB=LC·LD=LT^2.几何语言：∵割线LDC和LBA交于圆O于ABCD点.∴LA·LB=LC·LD=LT^2.如右图所示.(LT为切线）切割线定理切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。是圆幂定理的一种.几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT²=PA·PB（切割线定理）.推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.几何语言：∵PT是⊙O切线，PBA，PDC是⊙O的割线∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理）由上可知:PT²=PA·PB=PC·PD相交弦定理相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.几何语言：∵弦AB、CD交于点P.∴PA·PB=PC·PD（相交弦定理）.推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.几何语言：∵AB是直径，CD⊥AB于点P.∴PC2=PA·PB（相交弦定理推论）.弦切角定理弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半.两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等.证明：如图2，AB为圆O的切线，因为BD是直径，所以内接三角形BCD是直角三角形，其中∠DCB是直角.∴∠BDC+∠1=90°.∵∠1+∠CBA=90°.∴∠CBA=∠BDC.射影定理直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.概述图中，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，则有射影定理如下：CD²=AD·BD，AC²=AD·AB，BC²=BD·AB，AC·BC=AB·CD.证明：由等积法可知：AB×BC=BD×AC.在Rt△ABD和Rt△ABC中，tan∠BAD=BD/AD=BC/AB.故AB×BC=BD×AC.两边各除以tan∠BAD.得：AB2=AD×AC.同理可得BC²=CD·CA.在Rt△ABD和Rt△BCD中.tan∠BAD=BD/AD，cot∠BCD=CD/BD.又∵tan∠BAD=cot∠BCD.故BD/AD=CD/BD.得BD2=AD×CD.（cot（余切）：直角三角形任意一锐角的邻边和对边的比，叫做该锐角的余切）.蝴蝶定理蝴蝶定理（Butterflytheorem）：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD.设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点.证明：过圆心O作AD与BC的垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM，SM，MT.∵OS⊥DA.∴∠OSD=90°.∵M为PQ中点.∴∠OMP=90°.∴∠OSD=∠OMP=90°.∴O，S，X，M四点共圆同理，O，T，Y，M四点共圆.∴∠MTY=∠MOY，∠MSX=∠MOX.∴∠MOX=∠MOY，∵OM⊥PQ.∴∠OMX=∠OMY=90°∵OM=OM.∴△OMX≌△OMY.∴XM=YM西姆松定理西姆松定理：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线.（此线常称为西姆松线）.逆定理：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上.证明：如图，若L、M、N三点共线，连结BP，CP，则因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、L、P、N和P、M、C、L分别四点共圆，有∠NBP=∠NLP=∠MLP=∠MCP.故A、B、P、C四点共圆.若A、P、B、C四点共圆，则∠NBP=∠MCP.∵PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、L、P、N和P、M、C、L四点共圆，有∠NBP=∠NLP=∠MCP=∠MLP.∴L、M、N三点共线.