3.1.3函数与方程的习题课

3.1.3函数与方程的习题课函数的应用1．正确理解函数零点与方程根及函数图象与x轴交点横坐标的关系．2．正确应用函数零点判定定理判定函数零点所在区间．3．综合应用二分法与数形结合法与求根公式等方法研究与方程的根相关问题．基础梳理1．设点(m,n)是两曲线C1：y＝f(x)，C2：y＝g(x)的一个公共点，则方程f(x)＝g(x)的一个解是：________；函数y＝f(x)－g(x)的一个零点是：______.2．函数f(x)＝ln(2－x)的零点是唯一的，从函数图象的变化趋势来看，这是因为：_________________________________________.3．若方程2x＝a的解是唯一的，则实数a的取值范围是：_________；若方程2x＝a无解，则实数a的取值范围是：________.4．直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的公共点的个数至多有：______.x＝mm函数f(x)＝ln(2－x)是区间上的减函数()0，＋∞(]－∞，02个思考应用1．设区间[a，b]是连续函数f(x)的零点所在的一个区间，用二分法逐步将零点所在区间拆分，逼近得到方程的近似解．这一方法中，体现了数学的哪些基本思想方法？解析：第一次用二分法将零点所在区间[a，b]拆分得到两个子区间，这两个子区间中必有一个包含函数的零点，区间的长度是原区间长度的一半为，再用二分法时，包含函数的零点的区间长度是，…，第n次用二分法时，包含函数的零点的区间的长度为，当n→＋∞时，包含函数的零点的区间的长度趋向于0.所以二分法体现了数学中无限逼近的极限思想，也融合了数形结合思想．a，a＋b2a＋b2，bb－a4b－a2n2ba2．设区间[a，b]是连续函数f(x)的零点所在的一个区间，当f(x)在区间[a，b]上具有什么样的条件时，连续函数f(x)的零点是唯一的？解析：当f(x)在区间[a，b]上是增函数或减函数时，可以确保连续函数f(x)的零点是唯一的．3．对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若存在x0∈R，使a·f(x0)0，你能判断它的零点个数吗？解析：若a0，则f(x0)0，结合图象可知，二次函数f(x)有两个零点，分别在区间和上.a0时有相同的结论．()－∞，x0()x0，＋∞自测自评1．若f(x)＝x－1x，则方程f(4x)＝x的根是()A.12B．－12C．2D．－2解析：f(4x)＝x即：4x－14x＝x，即4x2－4x＋1＝0，解得：x＝12.答案：A2．已知a是实数，函数f(x)＝ax2＋(3－3a)x＋2a－4.在下列所给区间中，函数f(x)必有零点的一个区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)3．已知a是实数，函数f(x)＝ax2＋(3－3a)x＋2a－4.如果函数f(x)在区间(0,1)上有零点，则a的取值范围是：_________.2．解析：f(1)＝－1,f(2)＝2,f(1)·f(2)0，函数f(x)在区间(1,2)上必有零点．答案：B3．解析：函数f(x)在区间(0,1)上有零点等价于f(0)·f(1)0.f(1)＝－10，f(0)＝2a－40，解得：a2.答案：(2，＋)判断零点所在的区间设函数f(x)＝x－lnx(x0)，则函数y＝f(x)()A．在区间，(1，e)内均有零点B．在区间，(1，e)内均无零点C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点131e，11e，11e，11e，1解析：∵f1e＝13e＋10,f(1)＝130，f()e＝e3－10，∴y＝f(x)在区间(1，e)内有零点．又在区间(0,1)上，lnx0，∴f(x)＝13x－lnx0，∴y＝f(x)在区间1e，1内无零点．答案：D跟踪训练1．函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点一定位于区间()A．(1,2)B．(2,3)C．(3,4)D．(4,5)解析：易知函数f(x)在定义域(0，＋)内是增函数，f(1)＝ln1＋2－6＝－4＜0，f(2)＝ln2＋4－6＝ln2－2＜0，f(3)＝ln3＞0，f(2)·f(3)＜0，即函数f(x)零点所在区间是(2,3)．答案：B点评：求零点所在区间判断是否有f(2)·f(3)＜0，需注意的是f(a)·f(3)＞0并不能说明该函数没有零点．根据零点个数求参数范围若函数y＝mx2－2x－1只有1个零点，求实数m的值．解析：当m＝0时，函数只有一个零点等价于－2x－1＝0只有1个实数解，解方程得：x＝－满足题意，当m≠0时，函数只有1个零点等价于方程mx2－2x－1＝0有两个相等实根，所以Δ＝4＋4m＝0解得m＝－1.综合所述，m的值为0或-1.点评：解本题的关键是把函数零点转化为方程的根，针对函数的最高次项系数进行分类讨论．12跟踪训练2．若函数f(x)＝x2－2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是()A．a1B．a1C．a≤1D．a≥1B讨论曲线的公共点求函数f(x)＝lnx与g(x)＝6－2x的公共点的个数．解析：法一：利用信息技术直接画出函数F(x)＝f(x)－g(x)＝lnx＋2x－6的图象法二：利用函数零点存在性定理因为函数f(x)的图象在(0，＋∞)是连续的，f(2)＝－1.30690，f(3)＝1.09860则f(2)f(3)0，这说明函数f(x)在区间(2,3)内有零点，由于函数f(x)在定义域内是增函数，所以它仅有一个公共点．法三：图象法f(x)＝lnx＋2x－6的零点，就是方程lnx＋2x－6＝0的解，即是lnx＝－2x＋6的解．这个方程的解，我们可以看作是函数y＝lnx与y＝－2x＋6图象交点的横坐标．画出这两个函数图象，可以得到交点个数为1，所以原函数只有一个交点，即仅有1个公共点．跟踪训练3．设曲线C1：f(x)＝x＋1(x≠2)，C2：g(x)＝ax＋2，若曲线C1，C2没有公共点，求实数a的值．解析：令h(x)＝f(x)－g(x)＝(1－a)x－1(x2)，若曲线C1，C2没有公共点，等价于1－a＝0或h(2)＝0，解得：a＝1或a＝.12一、选择填空题1．下列函数中有两个零点的是()A．y＝lgxB．y＝2xC．y＝x2D．y＝|x|－12．函数f(x)＝x2－3x＋2的零点是()A．(1,0),(2,0)B．1,2C．(－1,0),(－2,0)D．－1,－2解析：函数的零点是使f(x)＝0的实数x.答案：BD1．研究二次函数的零点时，要充分利用二次函数的图象，结合方程的判别式进行讨论．2．研究曲线的公共点，通常转化为相应函数的零点．3．讨论含参数的函数零点的个数时，常用分离变量，转化为研究直线与曲线的公共点，结合图形研究．祝您