数字图像3.3DIP

图像变换第三次课傅立叶变换的一个最大的问题是：它的参数都是复数，在数据的描述上相当于实数的两倍。为此，我们希望有一种能够达到相同功能但数据量又不大的变换。在此期望下，产生了DCT变换。离散余弦变换1974年提出，距傅立叶变换152年。给定实数序列{f(x)；x=0,1,2…N-1}将此序列以x=-1/2为轴做偶对称镜像该序列，形成2N点序列g(x)。123456－1/2-1-2-3-4-5-6f(x)g(x)123456xx对g（x）做傅立叶变换NxujxgNNxujxgNNxujxgNuFNxNxNNx22exp)(2122exp)(2122exp)(21)(211212121)1(21121)1(利用对称性，对上式的第一项做变量代换y=-x，有：cos2ee2)12(cos)(222exp22exp)21(122exp)(2122exp)(21)(jj10211212112121121NuxxfNNxujNxujxfNNxujxgNNxujxgNuFNxNxNxNx通常把余弦变换归一为：归一化系数：NuxxfuauFNx2)12(cos)()()(100u/20u/1)(NNua离散余弦变换反变换：矩阵表示：F=Cf反变换：f=CTFNuxuFxfNx2)12(cos)()(10关于（-1/2,-1/2)对称的偶函数二维余弦变换折叠镜像二维余弦变换为二维余弦反变换为归一化系数：1010)12(2cos)12(2cos),()()(),(NxNyvyNuxNyxfvauavuF1010)12(2cos)12(2cos),(),(NuNvvyNuxNvuFyxf0u/20u/1)()(NNvauaFCCTfTfCCF矩阵表示形式为FCCTfTfCCF正变换矩阵当N=4时：NNNNNNNNNNNN2)1)(12(cos2)1(3cos2)1(cos2)12(cos23cos2cos2121212271.0653.0653.0271.05.05.05.05.0653.0271.0271.0653.05.05.05.05.0余弦变换的性质与傅立叶变换、余弦型变换不同，哈达玛(Hadamard)变换和下面将要介绍沃尔什(Walsh)的变换的基波都是方波的变形。通常这种变换的计算速度很快，这主要的原因是因为其中的许多乘法操作都非常简单。沃尔什—哈达玛变换正变换形式反变换离散哈达玛变换(DHT)1-N0,1,2,...,u),()(1)(10NxumhxfNuF1-N0,1,2,...,x),()()(10NuumhuFxf一维离散哈达玛变换的变换核当时，函数的DHT记作，其变换核为：离散哈达玛变换nN2)(uF10()()1(,)(1)niiibmbuNhmu其中：bk(z)是z的二进制表达中的第k位。1111212HNNNNNHHHHH21222142221111011113111111211112HHHHH2.Hadamard变换核特点:（1）递推性：可以由递推得到;（2）变换矩阵为实的正交对称矩阵;（3）行（或列）变号次数乱序。NH2NHNH2D哈达玛变换的变换核上式也可以写成2D--DHT10))()()()(()1(1),,,(niiiiivbnbubmbNvunmh),(),()1(1)1(1),,,(1010)()()()(vnhumhNNvunmhniiiniiivbnbubmb10101010),(),(),(),,,(),(),(NmNnNmNnumhvnhnmfvuyxhnmfvuFNNfHHFNNFHHf我们从哈达玛变换知道：它的构造是由小块堆积成大块的。但是分析其列率就知道其排列是无规则的。将无序的哈达玛核进行列率的排序，之后得到的有序的哈达玛变换就成为沃尔什变换。离散沃尔什变换（DWT）当N=2n时，有一维沃尔什变换对：1-N0,1,2,...,u)1()(1)(10)()(101NxubxbniinixfNuW1-N0,1,2,...,u)1()()(10)()(101NuubxbniinixWxf41111011111111112211113WWalsh变换核特点:（1）变换核可由哈达玛变换核间接得到（间接递推）；（2）变换矩阵为实的正交对称矩阵；（3）行（或列）变号次数按自然定序（由小到大）排列。2D—DWT的矩阵表示形式：反变换：2D--DWTNNfWWFNNFWWf1.2D-DHT-DWT特点:（1）都是可分离的正交变换。（2）都是实函数变换。（3）正反变换形式完全相同。（4）变换核中不存在正、余弦函数，所以用计算机计算时，不会因字长有限而产生附加噪声。（5）由于是正交变换，具有很好的能量集中作用。1、求的沃尔什变换和哈达玛变换2、求的沃尔什变换和哈达玛变换举例13311331133113311f11111111111111112f假定一幅图像在某信道中传输了L次，由于任何物理信道都存在随机干扰因素，接收的图像序列总存在随机成分，称之为随机图像集合。集合中的图像相关但不相等。K-L变换本质上就是针对这类随机图像提出的。当对L个图像施加了K-L变换后的L个新图像不相关。K_L变换把刚才的图像集合表示为：把集合中的每个每个图像进行拉直：),(,),,(),,(),(21nmfnmfnmfnmfL1,1,0,Niiiiffff图像的统计参数图像向量的协方差阵定义为式中是的均值向量，表示求统计平均。在帧图像样本组成的集合中，可用如下两式近似，求得和：其中，均值向量是维的列向量，方差向量是维的矩阵。fTfffmfmfECfEmffELfmfCLiiffLm11TffLiTiiTfiLififmmffLmfmfLC1111fm2N22NN3.6.2Cf的特征值和特征向量1．Cf的特征值对于的矩阵，有个标量，能使其中，称作矩阵的特征值。2．Cf的特征向量重新排列特征值，使得若设是的维特征向量，则有，因此是一实对称方阵，则一定存在有个互为正交的实特征向量，构成一个维的完备正交向量集。22NNfC2Ni2,,2,1Ni0ICififC221NibfC2NiiifbbC2,,2,1NifC2Nib2N3.6.3离散K-L变换及其性质对各特征向量进行归一化处理后，就得到了K-L变换的变换矩阵。（阶的正交矩阵）其中，特征向量归一化的过程为：，且有到此，离散K-L变换可以表示为：ibA222222221222211121121NNNNNNTNTTaaaaaaaaaaaaAib202NjijijijbbajijiaajTi当，当0,1fmfAg2N2.离散K-L变换的性质（1）的均值向量为0；（2）的方差向量为：（3）为对角阵：是对角阵，其元素等于的特征值，即：（4）因为A是正交矩阵，所以离散K-L变换是正交变换。（5）由于二维K-L变换核是不可分离的，所以离散K-L变换不是可分离变换。3.离散K-L反变换：ggmgTfTTffTTffTffTgggAACAmfmfAEAmfmfAEAmAfAmAfEmgmgECgCfC200000000021NgCfTmgAfgC3.6K-L变换3.6.4图像的主分量表示和降维重建离散K-L变换矩阵是按特征值大小排列的相应特征向量组成的变换核矩阵，由于能量主要集中于特征值大的系数中，如果只用特征值较大的前个分量来近似表示，即丢掉对应于特征值较小的系数，则对图像质量不会有大的影响。用前个最大的特征值对应的个特征向量构成新的变换矩阵。作一新的变换：则可由维向量（称为主分量）代替原来的维向量。上式称为图像的主分量表示。AakfkkkA212TTkTkkNaaAafkkmfAgkkg2Ng相对于其维数减少了维，再作反变换，就得到了原图像的降维重建值：可以证明，和之间的均方误差是：上式表明，如果（即如果所有的特征向量都用于变换），则误差为零。而如果选用个具有最大特征值的特征向量组成变换矩阵，则从图像的降维重建和均方误差降至最小来说，离散K-L变换是最佳的。由于这种使用特征向量对应的最大特征值的思想，K-L变换也称为主分量变换。下图给出了利用不同的个最大特征值对应的特征向量进行降维重建后的估值图像，从中看出，当时，重建图像的效果已经很好。kggkN2ffˆfkTkmgAfˆffˆ22111NkNmsiiiiiike2NkkkAk64k（a）前8个特征向量（b）前16个特征向量（c）前32个特征向量（d）前64个特征向量