数量积与向量积

数量积与向量积一、两向量的数量积1、数量积的物理背景:设一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动到点M2以s表示位移21MM由物理学知道,力F所作的功为W|F||s|cos,其中为F与s的夹角2、数量积对于两个向量a和b,它们的模|a|、|b|及它们的夹角的余弦的乘积称为向量a和b的数量积,记作ab,即a·b|a||b|cos3、数量积与投影由于|b|cos|b|cos(a,^b),当a0时,|b|cos(a,^b)是向量b在向量a的方向上的投影,于是a·b|a|Prjab同理,当b0时,a·b|b|Prjba4、数量积的性质(1)a·a|a|2(2)对于两个非零向量a、b,如果a·b0,则ab;反之,如果ab,则a·b0如果认为零向量与任何向量都垂直,则aba·b05、数量积的运算律(1)交换律a·bb·a;(2)分配律(ab)cacbc(3)(a)·ba·(b)(a·b),(a)·(b)(a·b),、为数例1试用向量证明三角形的余弦定理6、数量积的坐标表示设a(ax,ay,az),b(bx,by,bz),则a·baxbxaybyazbz7、两向量夹角的余弦的坐标表示设(a,^b),则当a0、b0时,有222222||||coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababababa例2已知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2),求AMB解从M到A的向量记为a,从M到B的向量记为b,则AMB就是向量a与b的夹角a{1,1,0},b{1,0,1}因为ab1110011,2011||222a,2101||222b所以21221||||cosbabaAMB从而3AMB例3设液体流过平面S上面积为A的一个区域,液体在这区域上各点处的流速均为（常向量v设n为垂直于S的单位向量（图7-25(a)）,计算单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的质量P(液体的密度为ρ)二、两向量的向量积1、向量积设向量c是由两个向量a与b按下列方式定出c的模|c||a||b|sin,其中为a与b间的夹角;c的方向垂直于a与b所决定的平面,c的指向按右手规则从a转向b来确定那么,向量c叫做向量a与b的向量积,记作ab,即cab根据向量积的定义,力矩M等于OP与F的向量积,即FMOP2、向量积的性质(1)aa0(2)对于两个非零向量a、b,如果ab0,则a//b反之,如果a//b,则ab0如果认为零向量与任何向量都平行,则a//bab03、向量积的运算律(1)交换律abba(2)分配律(ab)cacbc(3)(a)ba(b)(ab)(为数)4、向量积的坐标表示设aaxiayjazk,bbxibyjbzkab(axiayjazk)(bxibyjbzk)axbxiiaxbyijaxbzikaybxjiaybyjjaybzjkazbxkiazbykjazbzkk(aybzazby)i(azbxaxbz)j(axbyaybx)k为了邦助记忆,利用三阶行列式符号,上式可写成zyxzyxbbbaaakjibaaybziazbxjaxbykaybxkaxbzjazbyi(aybzazby)i(azbxaxbz)j(axbyaybx)k例4设a(2,1,1),b(1,1,2),计算ab解211112kjiba2ij2kk4jii5j3k例5已知三角形ABC的顶点分别是A(1,2,3)、B(3,4,5)、C(2,4,7),求三角形ABC的面积解根据向量积的定义,可知三角形ABC的面积||21sin||||21ACABAACABSABC由于AB(2,2,2),AC(1,2,4),因此421222kjiACAB4i6j2k于是142)6(421|264|21222kjiABCS例6设刚体以等角速度绕l轴旋转,计算刚体上一点M的线速度解刚体绕l轴旋转时,我们可以用在l轴上的一个向量表示角速度,它的大小等于角速度的大小,它的方向由右手规则定出即以右手握住l轴,当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时,大姆指的指向就是的方向设点M到旋转轴l的距离为a,再在l轴上任取一点O作向量rOM,并以表示与r的夹角,那么a|r|sin设线速度为v,那么由物理学上线速度与角速度间的关系可知,v的大小为|v|||a|||r|sin;v的方向垂直于通过M点与l轴的平面,即v垂直于与r,又v的指向是使、r、v符合右手规则因此有vr