第五节--平面及其方程

1第五节平面及其方程教学目的：1、掌握平面的点法式方程及一般方程；2、掌握两平面的夹角公式。教学重难点：平面的点法式方程及一般方程，如何建立平面的方程。教法：讲练结合课时：2在空间最简单而且最重要的曲面和曲线分别是平面和直线，本节将以向量为工具，在空间直角坐标系中分别研究这两种最常见的空间图形。本次课介绍平面的方程。（提问）由立体几何知道，过两条相交直线或过不在一直线的三点可以唯一确定一平面。又如，过一点仅可作一平面垂直于已知直线，我们将从这些条件出发来建立平面方程。一、平面方程1、平面的点法式方程法线向量如果一非零向量垂直于一平面这向量就叫做该平面的法线向量容易知道平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直唯一确定平面的条件当平面上一点M0(x0y0z0)和它的一个法线向量n(ABC)为已知时平面的位置就完全确定了平面方程的建立设M(xyz)是平面上的任一点那么向量MM0必与平面的法线向量n垂直即它们的数量积等于零00MMn由于n(ABC)),,(0000zzyyxxMM所以A(xx0)B(yy0)C(zz0)0这就是平面上任一点M的坐标xyz所满足的方程反过来如果M(xyz)不在平面上那么向量MM0与法线向量n不垂直从而00MMn即不在平面上的点M的坐标xyz不满足此方程由此可知方程A(xx0)B(yy0)C(zz0)0就是平面的方程而平面就是平面方程的图形由于方程A(xx0)B(yy0)C(zz0)0是由平面上的一点M0(x0y0z0)及它的一个法线向量n(ABC)确定的所以此方程叫做平面的点法式方程例1求过点(230)且以n(123)为法线向量的平面的方程解根据平面的点法式方程得所求平面的方程为(x2)2(y3)3z0即x2y3z80补例已知空间两点M1(12，-1)、M2(3-12)，求过M1点且与直线M1M2垂直的平面方程。解：MM0nxyz2例2求过三点M1(214)、M2(132)和M3(023)的平面的方程解：关健找平面的法向量。我们可以用3121MMMM作为平面的法线向量n因为)6,4,3(21MM)1,3,2(31MM所以kjikjin9141326433121MMMM根据平面的点法式方程得所求平面的方程为14(x2)9(y1)(z4)0即14x9yz1502、平面的一般方程由平面的点法式方程A(xx0)B(yy0)C(zz0)0知，任一平面都可用xyz的一次方程来表示。反之，我们要问，xyz的一次方程是否表示一个平面？答案是肯定的。xyz的三元一次方程的一般形式为AxByCzD0由于平面的点法式方程是xyz的一次方程而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定所以任一平面都可以用三元一次方程来表示反过来设有三元一次方程AxByCzD0我们任取满足该方程的一组数x0y0z0即Ax0By0Cz0D0把上述两等式相减得A(xx0)B(yy0)C(zz0)0这正是通过点M0(x0y0z0)且以n(ABC)为法线向量的平面方程由于方程AxByCzD0与方程A(xx0)B(yy0)C(zz0)0同解所以任一三元一次方程AxByCzD0的图形总是一个平面方程AxByCzD0称为平面的一般方程其中xyz的系数就是该平面的一个法线向量n的坐标即n(ABC)例如方程3x4yz90表示一个平面n(341)是这平面的一个法线向量3、特殊位置的平面方程考察下列特殊的平面方程指出法线向量与坐标面、坐标轴的关系平面通过的特殊点或线AxByCz0ByCzD0AxCzD0AxByD0CzD0AxD0ByD0提示D0平面过原点n(0BC)法线向量垂直于x轴平面平行于x轴3n(A0C)法线向量垂直于y轴平面平行于y轴n(AB0)法线向量垂直于z轴平面平行于z轴n(00C)法线向量垂直于x轴和y轴平面平行于xOy平面n(A00)法线向量垂直于y轴和z轴平面平行于yOz平面n(0B0)法线向量垂直于x轴和z轴平面平行于zOx平面例3求通过x轴和点(431)的平面的方程解平面通过x轴一方面表明它的法线向量垂直于x轴即A0另一方面表明它必通过原点即D0因此可设这平面的方程为ByCz0又因为这平面通过点(431)所以有3BC0或C3B将其代入所设方程并除以B(B0)便得所求的平面方程为y3z04、平面的截距式方程例4设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a00)、Q(0b0)、R(00c)三点求这平面的方程(其中a0b0c0)解设所求平面的方程为AxByCzD0因为点P(a00)、Q(0b0)、R(00c)都在这平面上所以点P、Q、R的坐标都满足所设方程即有,0,0,0DcCDbBDaA由此得aDAbDBcDC将其代入所设方程得0DzcDybDxaD即1czbyax上述方程叫做平面的截距式方程而a、b、c依次叫做平面在x、y、z轴上的截距二、两平面的位置关系两平面的位置关系不外是相交、垂直、平行与重合，这些关系可借助平面间的夹角来确定。1、平面的夹角两平面的夹角两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角设平面1和2的法线向量分别为n1(A1B1C1)和n2(A2B2C2)那么平面1和2的夹角应是),(2^1nn和),(),(2^12^1nnnn两者中的锐角因此|),cos(|cos2^1nn按两向量夹角余弦的坐标表示式平面1和2的夹角可由PQRzyx42222222121212121212^1|||),cos(|cosCBACBACCBBAAnn来确定从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论注：（1）平面1和2垂直相当于A1A2B1B2C1C20（2）平面1和2平行或重合相当于212121CCBBAA（3）平面1和2重合相当于21212121DDCCBBAA例5求两平面xy2z60和2xyz50的夹角解n1(A1B1C1)(112)n2(A2B2C2)(211)222222212121212121||cosCBACBACCBBAA211122)1(1|121)1(21|222222所以所求夹角为3例6一平面通过两点M1(111)和M2(011)且垂直于平面xyz0求它的方程解方法一已知从点M1到点M2的向量为n1(102)平面xyz0的法线向量为n2(111)设所求平面的法线向量为n(ABC)因为点M1(111)和M2(011)在所求平面上所以nn1即A2C0A2C又因为所求平面垂直于平面xyz0所以nn1即ABC0BC于是由点法式方程所求平面为2C(x1)C(y1)C(z1)0即2xyz0方法二从点M1到点M2的向量为n1(102)平面xyz0的法线向量为n2(111)设所求平面的法线向量n可取为n1n2因为kjikjinnn211120121所以所求平面方程为2(x1)(y1)(z1)0即2xyz02、点到平面的距离例7设P0(x0y0z0)是平面AxByCzD0外一点求P0到这平面的距离解设en是平面上的单位法线向量在平面上任取一点P1(x1y1z1)则P0到这平面的距离为||0101nnrjPPPPPde222101010|)()()(|CBAzzCyyBxxAP0P1NnN5222111000|)(|CBACzByAxCzByAx222000||CBADCzByAx提示),,(1222CBACBAne),,(10101001zzyyxxPP例8求点(211)到平面xyz10的距离解222000||CBADCzByAxd222)1(11|11)1(1121|333