特殊曲面及其方程--柱面、锥面、旋转面

引言空间解析几何所研究的曲面主要是二次曲面。但是也可以研究一些非二次特殊曲面。本论文中将利用直线或曲线适合某几何特征来建立一些曲面的方程。主要讨论由直线产生的柱面和锥面，曲线产生的旋转曲面这三大类。1.柱面定义1：一直线平行于一个定方向且与一条定曲线相交而移动时所产生的曲面叫做柱面（图1），曲线作叫做准线。构成柱面的每一条直线叫做母线。显然，柱面的准线不是唯一的，任何一条与柱面所有母线都相交的曲线都可以取做柱面的准线，通常取一条平面曲线作为准线。特别地，若取准线为一条直线，则柱面为一平面，可见平面是柱面的特例。下面分几种情形讨论柱面的方程。1.1母线平行于坐标轴的柱面方程选取合适的坐标系，研究对象的方程可以大为化简。设柱面的母线平行于z轴，准线为Oxy面上的一条曲线，其方程为：,00fxyz又设,,Pxyz为柱面上一动点（图2），则过点P与z轴平行的直线是柱面的一条母线，该母线与准线的交点记为,,0Mxy，因点M在准线上，故其坐标应满足准线方程，这表明柱面上任一点,,Pxyz的坐标满足方程,0fxy反过来，若一点,,Pxyz的坐标满足方程,0fxy，过P作z轴的平行线xzyO,,Pxyz,,0Mxy图2图1uv交Oxy面于点M，则点M的坐标,,0xy满足准线的方程,0,0fxyz，这表明点M在准线上，因此直线MP是柱面的母线(因为直线MP的方向向量为0,0,||0,0,1z)，所以点P在柱面上。综上所述，我们有如下结论：母线平行上于z轴，且与Oxy面的交线为,0,0fxyz的柱面方程为：,0fxy（1）它表示一个无限柱面。若加上限制条件azb，变得它的一平截段面。同理，母线平行于x轴，且与Oyz面的交线为,0,0gyzx的柱面方程为,0gyz；母线平行于y轴，且与Ozx面的交线为,0,0hxzy的柱面方程为,0hxz。定理1：凡三元方程不含坐标,,xyz中任何一个时必表示一个柱面，它的母线平行于方程中不含那个坐标的坐标轴。应该注意，如果母线不平行于坐标，柱面方程就要包含所有的坐标。例1：以Oxy面上的椭圆22221,0xyzab，双曲线22221,0xyzab和抛物线22,0yPxz为准线，母线平行于z轴的柱面方程分别为2222222221,1,2xyxyyPxabab它们分别叫做椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面，由于它们的准线是二次曲线，故又统称为二次柱面，其图形见（图3）。例2：证明，若柱面的准线为zxyoxyzooyxz图3,0:0fxyz母线方向为,,0Vlmnnr，则柱面方程为,0lmfxzyznn（2）证：设111,,0Pxy为准线上一点，则过此点的柱面母线的参数方程为：11,,xxlyymzn（为叁数）①当点1P遍历准线上的所有点，那么母线①就推出柱面，消去参数，由①式中最后一个式子得zn，代入其余两个式子，有11,lmxxlxzyymyznn因点1P在准线上，代入11,0fxy，即得(2)式若柱面的准线为1,0:0fxzy母线方向为{,,}0Vlmnmuv则柱面方程为：1:,0lnfxyzymm（3）若柱面的准线为：2,0:0fyzx母线方向为{,,}0Vlmnluv则柱面方程为2:,0mnfyxzxll（4）1.2柱面的一般方程设柱面的准线是一条空间曲线，其方程为12,,0:,,0FxyzFxyz母线方向为,,lmn，在准线上任取一点1111,,Pxyz，则过点1P的母线方程是：11,,xxlyymzn（为叁数）这里,,xyz是母线上点的流动坐标。因点1P的坐标应满足：11112111,,0,,,0FxyzFxyz12,,0,,0FxlymznFxlymzn从上面这两组式子中消去参数，最后得一个三元方程,,0Fxyz(5)这就是以为准线，母线的方向数为,,lmn的柱面方程。例3：柱面的准线是球面2221xyz与平面0xyz的交线，母线方向是1,1,1，求柱面的方向。解：设111,,xyz是准线上任一点，则过这点的母线方程为111,,xxyyzz由此得111,,xxyyzz代入准线方程，得222130xyzxyz消去参数，得2221333xyzxyzxyzxyz展开，化简后得22223xyzxyyzzx这就是所求的柱面方程。1.3柱面的参数方程设柱面的准线的参数方程为：：xftygtatbzht母线方向为,,lmn又设1111,,Pftgtht是准线上的一点，则过1P的母线方程为111,,xftlygtmzhtn（为参数）令1P在准线上移动，即让1t取所有可能的值，并让取所有可能的值，则由上式决定的点,,xyz的轨迹就是所求的柱面。因此，柱面的参数方程是：xftlatbygtmzhtn（6）例4：设柱面的准线为：cossin020xaybz母线方向为{0,1,1}，求柱面的方程。解：由(6)式，柱面得参数方程为：cos02sinxaynz从上式中消去参数和，得住面的一般方程22221yzxab1.4由生成规律给出柱面的方程有时不给出柱面的准线，只给出生成规律下面举一例。例5：求以直线q为轴，半径为r的圆柱面方程，其中直线q通过点0000,,Pxyz,方向向量为{,,}Vlmnv。解：设,,Pxyz为所求柱面上的一点（图4），按题意P到q的距离为PMr，设0PPM，按向量的定义有00PPVPPuuurvsinVrVvv两端平方即得所求柱面的向量是方程：2220PPVrVuuurvv①写成坐标式，即220000nyymzzlzznxx200mxxlyy2222rlmn②若利用公式2222000PPVPPVPPVuuuuruuuruuur③则②式又可写成222222000xxyyzzlmn2000lxxmyynzz2222rlmn或2222000xxyyzzr=2000222lxxmyynzzlmn特别地，若取直线q为z轴，令0000xyz，则比时柱面方程为222xyr。Mr0000,,PxyzyxzO,,Pxyz000:xxyyzzqlmn图41.5曲线的射影柱面定义2：设是一条空间曲线，为一平面，经过上每一点作平面的垂线，由这些垂线构成的柱面叫做从到的射影柱面（图5）显然，在上的射影就是从到的射影柱面与的交线。通常我们将平面取为坐标平面。给定空间曲线12,,0:,,0FxyzFxyz那么怎样求曲线到Oxy平面上的射影柱面方程？因为这个柱面的母线平行于z轴，因此它的方程中不应含变量z，这样只要消去z即从的某一个方程中解出z来，把它代入另一个方程中，就得到从向Oxy面的射影柱面方程：,0fxy同理，曲线在另外两个坐标平面上的射影柱面方程分别为：,0,,0gyzhxz因为射影柱面方程比一般三元方程简单，所以常用两个射影柱面方程来表示空间曲线。具体做法是：从曲线的方程中轮流消去变量,xy与z，就分别得到它在Oyz面，Ozx面和Oxy面上的射影柱面方程，然后于这三个柱面方程中选取两个形式简单的联立起来，那么就得到了原曲线的形式较简单的方程且便于作图。例6：求曲线222222:1,111xyxxyz在Oxy面上的射影。解：欲求曲线在Oxy面上的射影，需先求出曲线到Oxy面上的射影柱面，这又须从曲线方程消去z，由的第一个方程减去第二个方程并化简得1yz或1zy图5将1zy代入曲线的方程中的任何一个，得曲线到Oxy面的射影柱面：22220xyy故两球面交线在Oxy面的射影曲线方程是22200xyyz这是一椭圆.2.锥面定义3：通过一定点0P且与一条曲线相交的一切直线所构成的曲面叫做锥面（图6），定点0P叫做锥面的顶点，定曲线叫做锥面的准线，构成锥面的直线叫做锥面的母线。由定义3，可见，锥面有个显著的特点：顶点与曲面上任意其它点的联线全在曲面上。显然，锥面的准线不是唯一的，任何一条与所有母线相交的曲线都可以作为锥面的准线。通常取一条平面曲线作为准线。下面分几种情形讨论锥面的方程：2.1顶点在原点，准线为平面曲线的锥面方程设锥面的准线在平面zh上，其方程为,0:fxyzh又设,,Pxyz为锥面上一动点（图7），111,,Pxyh为准线上一点，且P、1P、O三点共线，则1OPOPuuuvuuuv或11{,,}{,,}xyzxyh即11,,xxyyzh，于是0P图6OxzP111,,Pxyhy图711,xhxyhyxyzz。由于11,xy应满足11,0fxy，可见,,xyz应满足方程：,0hhfxyzz反过来，若一点P的坐标,,xyz满足方程(1)，则将上式逆推可知，点P在过点O与1P的直线上，因而在锥面的母线上，即点P是锥面上的点。因此，以原点为锥顶，准线为,0,gyzxk或,0,hxyym的锥面方程分别为：,0;,0kkmmgyzhxzxxyy例7：采用上式易知，以原点为锥顶，准线为椭圆22221xyabzh双曲线22221xyabzh和抛物线22yPxzh的锥面方程分别是：2222222211111,1hhhhxyxyazbzazbz和220hhyPxzz即222222222222,xyzxyzabhabh和220hyPxz。这三个二次方程都是关于x、y、z的二次齐次方程，因此统称为二次锥面（图8）。2.2锥面的一般方程设锥面的准线为一空间曲线：12,,0:,,0FxyzFxyz顶点0P的坐标为000,,xyz。又设1111,,Pxyz为准线上一点，则过点1P的母线方程为：010010010,,xxxxyyyyzzzz因为1P在准线上，故应有11112111,,0,,0FxyzFxyz00010002111,,0111,,0xxyyzzFxxyyzzF（7）从以上一组方程中消去可得,,0Fxyzzh=zyxOyxzzh=O图8yzxOzh=222222xyzabh222222xyzabh220hyPxz这就是以为准线0P为顶点的锥面方程。