ch94第四讲空间曲线及其方程

第四讲Ⅰ授课题目§7.4空间曲线及其方程Ⅱ教学目的与要求1、掌握空间曲线的一般方程及参数方程；2、掌握空间曲线在坐标面上的投影。Ⅲ教学重点与难点重点：空间曲线的一般方程及参数方程。难点：空间曲线在坐标面上的投影。Ⅳ讲授内容：一、空间曲线的一般空间曲线可以看作两个曲面的交线设F(xyz)0和G(xyz)0是两个曲面方程它们的交线为C因为曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个方程所以应满足方程组0),,(0),,(zyxGzyxF反过来如果点M不在曲线C上那么它不可能同时在两个曲面上所以它的坐标不满足方程组因此曲线C可以用上述方程组来表示上述方程组叫做空间曲线C的一般方程例1方程组632122zxyx表示怎样的曲线解方程组中第一个方程表示母线平行于z轴的圆柱面其准线是xOy面上的圆圆心在原点O半行为1方程组中第二个方程表示一个母线平行于y轴的柱面由于它的准线是zOx面上的直线因此它是一个平面方程组就表示上述平面与圆柱面的交线例2方程组222222)2()2(ayaxyxaz表示怎样的曲线解方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O半行为a的上半球面第二个方程表示母线平行于z轴的圆柱面它的准线是xOy面上的圆这圆的圆心在点)0,2(a半行为2a方程组就表示上述半球面与圆柱面的交线例2方程组222222)(4ayaxyxaz表示怎样的曲线解方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O半行为2a的上半球面第二个方程表示母线平行于z轴的圆柱面它的准线是xOy面上的圆这圆的圆心在点(a0)半行为a方程组就表示上述半球面与圆柱面的交线二、空间曲线的参数方程空间曲线C的方程除了一般方程之外也可以用参数形式表示只要将C上动点的坐标x、y、z表示为参数t的函数)()()(tzztyytxx当给定tt1时就得到C上的一个点(x1y1z1)随着t的变动便得曲线C上的全部点方程组(2)叫做空间曲线的参数方程例3如果空间一点M在圆柱面x2y2a2上以角速度绕z轴旋转同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升(其中、v都是常数)那么点M构成的图形叫做螺旋线试建立其参数方程解取时间t为参数设当t0时动点位于x轴上的一点A(a,00)处经过时间t动点由A运动到M(xyz)记M在xOy面上的投影为MM的坐标为xy,0由于动点在圆柱面上以角速度绕z轴旋转所以经过时间t,∠AOMt从而x|OM|cos∠AOMacosty|OM|sin∠AOMasint,由于动点同时以线速度v沿平行于z轴的正方向上升所以zMMvt.因此螺旋线的参数方程为vtztaytaxsincos也可以用其他变量作参数例如令t则螺旋线的参数方程可写为bzayaxsincos其中vb而参数为*曲面的参数方程曲面的参数方程通常是含两个参数的方程形如),(),(),(tszztsyytsxx例如空间曲线)()()(tztytx(t)绕z轴旋转所得旋转曲面的方程为)(sin)]([)]([cos)]([)]([2222tzttyttx(t02)……(4)这是因为固定一个t得上一点M1((t)(t)(t))点M1绕z轴旋转得空间的一个圆该圆在平面z(t)上其半径为点M1到z轴的距离22)]([)]([tt因此固定t的方程(4)就是该圆的参数方程再令t在[]内变动方程(4)便是旋转曲面的方程例如直线tztyx21绕z轴旋转所得旋转曲面的方程为tztytx2sin1cos122(上式消t和得曲面的直角坐标方程为41222zyx)又如球面x2y2z2a2可看成zOx面上的半圆周cos0sinazyax(0)绕z轴旋转所得故球面方程为cossinsincossinazayax(002)三、空间曲线在坐标面上的投影以曲线C为准线、母线平行于z轴的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线C在xOy面上的投影曲线或简称投影(类似地可以定义曲线C在其它坐标面上的投影)设空间曲线C的一般方程为0),,(0),,(zyxGzyxF设方程组消去变量z后所得的方程H(xy)0这就是曲线C关于xOy面的投影柱面这是因为一方面方程H(xy)0表示一个母线平行于z轴的柱面另一方面方程H(xy)0是由方程组消去变量z后所得的方程因此当x、y、z满足方程组时前两个数x、y必定满足方程H(xy)0这就说明曲线C上的所有点都在方程H(xy)0所表示的曲面上即曲线C在方程H(xy)0表示的柱面上所以方程H(xy)0表示的柱面就是曲线C关于xOy面的投影柱面曲线C在xOy面上的投影曲线的方程为00),(zyxH讨论曲线C关于yOz面和zOx面的投影柱面的方程是什么曲线C在yOz面和zOx面上的投影曲线的方程是什么例4已知两球面的方程为x2y2z21(5)和x2(y1)2(z1)21(6)求它们的交线C在xOy面上的投影方程解先将方程x2(y1)2(z1)21化为x2y2z22y2z1然后与方程x2y2z21相减得yz1将z1y代入x2y2z21得x22y22y0这就是交线C关于xOy面的投影柱面方程两球面的交线C在xOy面上的投影方程为002222zyyx例5求由上半球面224yxz和锥面)(322yxz所围成立体在xOy面上的投影解由方程224yxz和)(322yxz消去z得到x2y21这是一个母线平行于z轴的圆柱面容易看出这恰好是半球面与锥面的交线C关于xOy面的投影柱面因此交线C在xOy面上的投影曲线为0122zyx这是xOy面上的一个圆于是所求立体在xOy面上的投影就是该圆在xOy面上所围的部分:x2y21Ⅴ小结与提问小结：1、空间曲线的一般方程及参数方程。2、空间曲线在坐标面上的投影。提问：1、求椭园抛物面2y2+x=z与抛物柱面2-x2=z的交线关于xOy面的投影柱面和在xOy面上的投影曲线方程.Ⅵ课外作业P3243,5，8。