空间直线及其方程

第六节空间直线及其方程StraightLineinSpaceandEquation教学目的:理解空间直线的概念;熟练掌握直线的标准方程、参数方程及一般方程;会判断两直线的位置关系,并会建立直线方程.课题:直线的标准方程;直线的参数方程;直线的一般方程;两直线的夹角,平行与垂直的条件.教学重点:空间直线的图形及其方程教学难点:空间直线方程的求解教学方法:精讲直线的标准方程、参数方程和一般方程并能求直线方程教学内容:一、直线的标准方程如果一直线与已知向量平行，这个向量就叫做已知直线的方向向量.设直线L过空间一点0000(,,)Mxyz,且有方向向量{,,}mnps,求此直线的方程.在直线上任取一点(,,)Mxyz,则向量0000{,,}MMxxyyzz,且0MMs,则有000xxyyzzmnp(1)(1)即为直线L的方程,称为直线L的标准方程或对称方程,,,mnp叫做直线的方向数.【例1】求过点0(1,2,3)M,且垂直于平面23580xyz的直线方程.解已知平面的法向量可作为所求直线的方向向量,即{2,3,5}s由式(1)可得直线方程为123235xyz【例2】设直线经过两点12(1,2,3),(4,4,6)MM,求其方程.解取12{3,6,9}MM为直线的方向向量,并选直线上一点1M,由式(1)得直线方程为123369xyz即123123xyz注1.直线的方向向量不是唯一的,但同一条直线的所有方向向量互相平行;2.直线上点的坐标选取不是唯一的,因此直线方程也不是唯一的;3.在直线的标准方程中,方向数,,mnp可以有一个或两个为零,这时方程(1)应理解为当分母为零时,分子必为零.由例2知,过点11112222(,,),(,,)MxyzMxyz的直线方程为111212121xxyyzzxxyyzz称此方程为直线的两点式方程.二、直线的参数方程令直线的标准方程000xxyyzztmnp,则有000xxmtyyntzzpt(t为参数)(2)方程(2)称为直线的参数方程.显然直线上任一点都对应唯一确定的t值.反之,每取定一个t值,都得到一个确定的点.直线的标准方程可化为参数方程.反之,由直线的参数方程消去参数t,即得标准方程.三、直线的一般方程空间直线L可以看作是过该直线的两个不重合的平面1和2的交线.如果平面1的方程为11110AxByCzD,2的方程为22220AxByCzD,那么直线L上的任一点,既在平面1上,又在平面2上,因此直线L上的任一点的坐标都满足方程组1111222200AxByCzDAxByCzD(3)反之,不在直线L上的点,不能同时在平面1和2上.即不在直线L上的点,不满足方程组(3),方程组(3),是直线L的方程,称方程组(3)为直线的一般方程,其中111,,ABC与22,,AB2C不成比例.由于过直线L的平面有无穷多个,可以任取两个,将其联立,便得直线L的一般方程.因此,直线L的一般方程不是唯一的.【例3】将直线的一般方程23503240xyzxyz化为标准方程.解首先,求此直线上一个点的坐标,为此先选定该点的一个坐标,例如,设1z,代入原方程组,得2340360xyxy解之,得2,0xy.于是得该直线上一定点(2,0,1).其次,确定直线的一个方向向量.由于直线L在两个平面上,所以L与两个平面的法向量12,nn都垂直.因此可以选取12nn为直线L的方向向量s:{2,3,1}{3,1,2}{5,7,11}s于是得直线的标准方程为2015711xyz四、两直线的夹角，平行与垂直的条件两直线1L和2L的方向向量的夹角(通常指锐角)叫做两条直线的夹角,通常记为.设1L和2L的方程分别为11111113222222::xxyyzzLmnpzzxxyyLmnp它们的方向向量分别为11112222{,,},{,,}mnpmnpss.故它们的夹角若不大于2,则;若大于2,则,故1L和2L的夹角的余弦为121212222222111222cosmmnnppmnpmnp由此得两直线1L和2L平行的充要条件是111222mnpmnp两直线1L和2L垂直的充要条件是1212120mmnnpp【例4】一直线通过点0(3,2,5)M,且与平面430,2510xzxyz的交线平行,求该直线的方程.解由于所求直线与两平面的交线平行,故可取两平面交线的方向向量为所求直线的方向向量.即{1,0,4}{2,1,5}{4,3,1}s故所求直线方程为325431xyz即325431xyz【例5】试判定下列直线和平面的位置关系.(1)24xyz和4210xyz;(2)123302xyz和80y.解(1)直线的方向向量111,,24s,平面的法向量{4,2,1}n,显然111:4:2:124,故sn,所以,直线与平面垂直.(2)直线的方向向量{3,0,2}s,平面的法向量{0,1,0}n,显然,0sn,故sn,所以,直线与平面平行.课堂练习:1.将直线方程121513xyz化为参数方程.2.写出各坐标轴的一般方程.小结:学习了直线的三种方程,两直线的夹角、平行与垂直的条件.要求理解空间直线的概念，熟练掌握直线的标准方程、参数方程及一般方程，会判断两直线的位置关系，并会建立直线方程。作业:P148-3,5.