高等代数(北大版)第9章习题参考答案

第九章欧氏空间1.设ija是一个n阶正定矩阵,而),,,(21nxxx,),,,(21nyyy,在nR中定义内积),(,1)证明在这个定义之下,nR成一欧氏空间；2)求单位向量)0,,0,1(1,)0,,1,0(2,…,)1,,0,0(n，的度量矩阵；3)具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。解1)易见),(是nR上的一个二元实函数，且(1)),()(),(，(2)),()()(),(kkkk，(3)),(),()(),(，(4)jijiijyxa,),(，由于A是正定矩阵，因此jijiijyxa,是正定而次型，从而0),(，且仅当0时有0),(。2)设单位向量)0,,0,1(1,)0,,1,0(2,…,)1,,0,0(n，的度量矩阵为)(ijbB，则)0,1,,0(),()(ijiijbnnnnnnaaaaaaaaa212222211211)(010j=ija，),,2,1,(nji，因此有BA。4)由定义，知jijiijyxa,),(，,(,)ijijijaxx，,(,)ijijijayy，故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R中,求,之间,(内积按通常定义)，设:1))2,3,1,2(,)1,2,2,1(，2))3,2,2,1(,)1,5,1,3(，3))2,1,1,1(,)0,1,2,3(。解1)由定义,得012)1(32112),(，所以2,。2)因为1813521231),(，1833222211),(，3633221133),(，22361818,cos，所以4,。3)同理可得3),(,17),(,3),(,773,cos，,,,ijijijijijijijijijaxyaxxayy所以773cos,1。3.),(d通常为,的距离，证明；),(),(),(ddd。证由距离的定义及三角不等式可得)()(),(d),(),(dd。4在R4中求一单位向量与3,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,1正交。解设4321,,,xxxx与三个已知向量分别正交，得方程组03200432143214321xxxxxxxxxxxx，因为方程组的系数矩阵A的秩为3，所以可令x3,0,414213xxx，即3,1,0,4。再将其单位化，则3,1,0,42611a，即为所求。5．设n,,21是欧氏空间V的一组基，证明：1）如果V使,,,2,10,nii，那么0。2）如果V21,使对任一V有,,21，那么21。证1)因为n,,21为欧氏空间V的一组基，且对V，有ni,,2,10,，所以可设nnkkk2211，且有nnnnkkkkkk,,,,,22112211即证0。2)由题设，对任一V总有,211，特别对基i也有ii,211，或者nii,,2,10,21，再由1)可得021，即证21。6设3,2,1是三维欧氏空间中一组标准正交基，证明：321332123211223122312231也是一组标准正交基。证因为3213212122,2291,3322112,,22,2910)2()2(491，同理可得0,,3231，另一方面3213211122,2291,332211,,4,4911)144(91，同理可得1,,3322，即证321,,也是三维欧氏空间中的一组标准正交基。7.设54321,,,,也是五维欧氏V空间中的一组标准正交基,3221,,LV，其中511,4212,32132，求1V的一组标准正交基。解首先证明321,,线性无关.事实上，由001010100110211),,,,(),,(54321321，其中001010100110211A的秩为3，所以321,,线性无关。将正交化，可得5111，),(),(11222254212121，单位化，有)(22511，)22(101054212，)(2153213，则321,,为1V的标准正交基。8.求齐次线性方程组0032532154321xxxxxxxxx的解空间(作为5R的子空间)的一组标准正交基。解由32153215423xxxxxxxxx可得基础解系为)1,5,0,0,1(1，)1,4,0,1,0(2，)1,4,1,0,0(3，它就是所求解空间的一组基。将其正交化，可得)1,5,0,0,1(11，)2,1,0,9,7(91),(),(1111222，)2,1,15,6,7(151),(),(),(),(222231111333，再将321,,单位化,可得)1,5,0,0,1(3311，)2,1,0,9,7(15312，)2,1,15,6,7(35313，则321,,就是所求解空间的一组标准正交基。9.在R[X]4中定义内积为(f,g)=dxxgxf)()(11求R[X]4的一组标准正交基(由基1.32,,出发作正交化)。解取R[X]4的一组基为,,,,1342321xxx将其正交化,可得111，x1111222),(),(，其中(01),1112dxx，又因为32),(),(2112213dxx，211),(1111dx，0),(21123xdxx，所以31),(),(),(),(2222231111333x，同理可得xx53),(),(),(),(),(),(333334222241111444，再将4321,,,单位化，即得221111，x261222，)13(41023x，)35(41434xx，则4321,,,即为所求的一组标准正交基。10.设V是一n维欧氏空间,0是V中一固定向量,1)证明:V},0),(|{1Vxaxx是V的一个子空间；2)证明:V1的维数等于n-1。证1)由于0,01V因而V1非空.下面证明V1对两种运算封闭.事实上,任取,,121Vxx则有(0),(),21xx，于是又有(0)()(),2121xxxx，所以121xxV。另一方面，也有(0),(),11xkkx，即11kxV。故V1是V的一个子空间。2)因为0是线性无关的，可将其扩充为V的一组正交基2,,n，且(0),i(),3,2ni，1(2,3,)iVin。下面只要证明:对任意的,1V可以由n,,32线性表出，则1V的维数就是1n。事实上，对任意的1V，都有V，于是有线性关系nnkkk221，且),(),(),(),(221nnkkk，但有假设知),,2,1(0),(),(nii，所以0),(1k，又因为0，故01k，从而有nnkk22，再由的任意性，即证。11．1）证明：欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的。2）利用上述结果证明：任一欧氏空间都存在标准正交基。证：1）设n,,,21与n,,,21是欧氏空间V的两组不同基，它们对应的度量矩阵分别是)(ijaA和)(ijbB，另外，设n,,,21到n,,,21的过渡矩阵为)(ijcC，即nnnnnnnncccccc221112121111，),(),(1111nnjjnniijiijccccb=nknnjjkkiccc111),(=nknssksjkicc11),(=nknskssikicc11，另一方面,令)(),(''ijijeDCACCdACD，则D的元素为nkkskiiscd1，故ACC'的元素nsnnijsjkskinssjisijnjibcccde111),2,1,()(，即证BACC'。再由,,,,;,,,2121nn皆为V的基，所以C非退化，从而B与A合同。2）在欧氏空间V中，任取一组基n,,,21，它的度量矩阵为),(ijaA其中(,)ijij，且度量矩阵A是正定的，又因为正定矩阵与单位矩阵合同，即ACCE'。于是只要Cnn),,,(),,,(2121，则由上面1）可知基n,,,21的度量矩阵为E，这就是说，n,,,21就是所求的标准正交基。12．设n,,,21是n维欧氏空间V中的一组向量，而111212122212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)mmmmmm证明：当且仅当0时m,,21线性无关。证设有线性关系02211mmkkk，将其分别与i取内积，可得方程组),,2,1(0),(),(),(2211mikkkmimii，由于上述方程组仅有零解的充要条件是系数行列式不等于0，即证。13．证明：上三角的正交矩阵必为对角矩阵，且对角线上元素为+1或-1。证设nnnnaaaaqaA22211211为上三角矩阵，则nnnnbbbbbbA222112111也是上三角矩阵。由于A是正交阵，所以'1AA，即nnnnnnnnbbbbbbaaaaaaA2221121121221211，所以)(0jiaij，因而nnaaaA2211为对角阵。再由,'EAA知12iia，即证1iia或-1。14．1）设A为一个n阶矩阵，且0A，证明A可以