非等精度测量演示文稿

七、不等精度测量①在实际测量过程中，由于客观条件的限制，测量条件是变动的，得到了不等精度测量。②对于精密科学实验而言，为了得到极其准确的测量结果，需要在不同的实验室，用不同的测量方法和测量仪器，由不同的人进行测量。如果这些测量结果是相互一致的。那么测量结果就是真正可以信赖的。这是人为地改变测量条件而进行的不等精度测量。③对于某一个未知量，历史上或近年来有许多人进行精心研究和精密测量，得到了不同的测量结果。我们就需要将这些测量结果进行分析研究和综合，以便得到一个最为满意的准确的测量结果。这也是不等精度测量。第一节随机误差（一）权的概念在等精度测量中，各个测量值认为同样可靠，并取所有测得值的算术平均值作为最后的测量结果。在不等精度测量中，各个测量结果的可靠程度不一样，因而不能简单地取各测量结果地算术平均值作为最后的测量结果，应让可靠程度大的测量结果在最后测量结果中占有的比重大些，可靠程度小的占比重小些。各测量结果的可靠程度可用一数值来表示，这数值即称为该测量结果的“权”，记为，可以理解为当它与另一些测量结果比较时，对该测量结果所给予信赖程度。（二）权的确定方法最简单的方法可按测量的次数来确定权，即测量条件和测量者水平皆相同，则重复测量次数愈多，其可靠程度也愈大，因此完全可由测量的次数来确定权的大小，即。假定同一被测量有m组不等精度的测量结果，这m组测量结果是从单次测量精度相同而测量次数不同的一系列测量值求得的算术平均值。因piinp第一节随机误差（二）权的确定方法最简单的方法可按测量的次数来确定权，即测量条件和测量者水平皆相同，则重复测量次数愈多，其可靠程度也愈大，因此完全可由测量的次数来确定权的大小，即:假定同一被测量有m组不等精度的测量结果，这m组测量结果是从单次测量精度相同而测量次数不同的一系列测量值求得的算术平均值。为单次测量精度皆相同，其标准差均为σ，则各组算术平均值的标准差为：iinp(2-40)由此得下列等式因为，故上式又可写成(2-41)或表示为(2-42)例2-10对一级钢卷尺的长度进行了三组不等精度测量，其结果为miniix,,2,122222211mxmxxnnniinp22222211mxmxxppp2222143211::1:1:::mxxxpppp第一节随机误差求各测量结果的权。解：由式(2-42)得因此各组的权可取为mmmmxmmmmxmmmmxxxx10.0,60.200020.0,15.200005.0,45.20003213214:1:16)10.0(1:)20.0(1:)05.0(11:1:1::222232221321xxxppp4,1,16321ppp第一节随机误差（三）加权算术平均值若对同一被测量进行m组不等精度测量，得到m个测量结果为：设相应的测量次数为n1,n2,…,nm，即：(2-43)根据等精度测量算术平均值原理，全部测量的算术平均值应为：mxxx,,,21,11111nlxnii,21222nlxniimniimmnlxm1,xmiinininiimiinlllxm111121/)(12第一节随机误差将式(2-43)代入上式得：或简写为(2-44)当各组的权相等，即时，加权算术平均值可简化为：(2-45)mmmmmmpppxpxpxpnnnxnxnxnx212211212211miimiiipxpx11ppppm21mxmpxpxmiimii11第一节随机误差由上式求得得结果即为等精度的算术平均值，由此可见等精度测量是不等精度测量得特殊情况。为简化计算，加权算术平均值可表示为：(2-46)式中的为接近的任选参考值。miimioiiopxxpxx11)(0xix第一节随机误差例2-11工作基准米尺在连续三天内与国家基准器比较，得到工作基准米尺的平均长度为999.9425mm(三次测量的)，999.9416mm(两次测量的)，999.9419mm(五次测量的)，求最后测量结果。解：按测量次数来确定权：选，则有5,2,3321pppmmx94.9990mmmmmmx9420.9995230019.050016.020025.0394.999第一节随机误差(四)单位权的概念由式（2-41）知，此式又可表示为(2-47)式中为某精度单次测量值的标准差。因此，具有同一方差的等精度单次测量值的权数为1。若已知，只要确定，根据（2-47）式就可求出各组的方差。由于测得值的方差的权数为1在此有特殊用途，故称等于1的权为单位权，而为具有单位权的测得值方差，为具有单位权的测得值标准差。利用单位权化的思想，可以将某些不等权的测量问题化为等权测量问题来处理。单位权化的实质，是使任何一个量值乘以自身权数的平方根，得到新的量值权数为1。),2,1(22miPixi)1(22ppPixi22ipix222第一节随机误差例如，将不等精确测量的各组测量结果皆乘以自身权数的平方根，此时得到的新值z的权数就为1。证明之：设取方差ixipmixpzii,,2,122)()(ixiziipxDpzD22221211::1:1:::mxxxmppp第一节随机误差以权数字表示上式中的方差，则由此可知，单位权化以后得到的新值的权数为1，用这种方法可以把不等精度的各组测量结果皆进行了单位权化，使该测量列转化为等精度测量列。ip1111ziizppppzpz不等精度测量列，经单位权化处理后，就可按等精度测量列来处理。第一节随机误差（五）加权算术平均值的标准差对同一个被测量进行m组不等精度测量，得到m个测量结果为：若已知单位权测得值的标准差σ，则由式（2-40）知全部（m×n个）测得值的算术平均值的标准差为：,,,21mxxxminiix,,2,1xmiixn1第一节随机误差比较上面两式可得：(2-48)因为代入式（2-48）得(2-49)miiixxnni1miimiiiinpnp11miimiiixxpppi11第一节随机误差当各组测得的总权数为已知时，可由任一组的标准差和相应的权，或者由单位权的标准差σ求得加权算术平均值的标准差。当各组测量结果的标准差为未知时，则不能直接用式（2-49），而必须由各测量结果的残余误差来计算加权算术平均值的标准差。已知各组测量结果的残余误差为：miip1ixipxxxvixi第一节随机误差将各组单位权化，则有：上式中各组新值已为等精度测量列的测量结果，相应的残差也成为等精度测量列的残余误差，则可用等精度测量时的Bessel公式推导得到：(2-50)将式（2-50）代入式（2-49）得(2-51)ixxpxpvpiiixii111221mvpmmiximii残差miimixixpmvpi112)1(第一节随机误差例2-12求例2-11的加权算术平均值的标准差。解：由加权算术平均值，可得各组测量结果的残余误差为：，又已知代入式(2-51)得mmx9420.999mvmvmvxxx1.0,4.0,5.03215,2,3,3321pppmmmmmx0002.024.02012.1)523()13()1.0(5)4.0(25.0322第一节随机误差