3.2的抽样分布定理证明

1几种统计量的抽样分布(1)样本平均数x的抽样分布(P.116)①设(x1,x2,…,xn)是总体xN(,2)的随机样本，x=niixn11，则E(x)=)1(1niixnE=)(11niixEn=nin11=Var(x)=Var(niixn11)=)(12ixVarn=221n=n2-4-2240.20.40.60.8图8.1正态分布2=1，2=0.5因xiN(,2)，i=1,2,…,n,x=11xn+21xn+…+nxn1，根据正态分布的线性性质，得xN(,n2),U=nx/N(0,1)n∞，x，样本容量越大，x离越近。②当x不服从正态分布时，在n30条件下，依据中心极限定理可认为，x近似服从正态分布N(,)2n。Z=nx/N(0,1)上面给出的E(x)=，Var(x)=n2是以x为无限总体为条件的。（1）当x为有限总体，但Nn0.05时，仍把x当作无限总体看待。（2）当Nn0.05时，E(x)=Var(x)=1NnNn2其中1NnN称作有限总体修正因子。205001000150020002500300050100150DOLLARNUMBER05010015020025020406080100120DollarFN100FN10FN3图1发票面额的分组频数表(=20，=30)图2n=3,n=10,n=100的抽样分布（x=30.3）（文件名：stat06）例1：8042张发票面额的分组频数表显示该总体是非正态、右偏倚的，如图1，=20，=30。以样本容量为n=3，n=10，n=100各抽取600次，得到关于x的三个频数分布图如上。(2)统计量W=22)1(Sn的抽样分布①若U1，U2，…Un是相互独立且同服从N(0,1)分布随机变量，则U12+U22+…+Un2=niiU122（n）当n=1时，U12服从1个自由度的2分布。2分布统计量具有可加性。②设(x1，x2，…xn)是取自正态总体x(,2)的样本。则212)(niix2（n）证：因xiN(,2)，所以ixN(0,1)，则212)(niix=21)(niix2（n）□③设(x1，x2，…xn)是取自正态总体x(,2)的样本。则W=212)(niixx=22)1(Sn2（n-1）证：因为2)(ix=)[(xxi+2)](x=)(xxi2+2)(x+2)(x)(xxi=)(xxi2+n)(x2所以n=100n=10n=33212)(niix=212)(niixx+22)(xn=212)(niixx+2)/(nx移项整理212)(niixx=212)(niix-2)/(nx因为212)(niix2（n），2)/(nx2（1），且2)(ix与x相互独立，所以由2分布的可加性，212)(niixx=22)1(Sn2（n-1）□(3)统计量t=nSx/的抽样分布①若xN(0,1)，y2(n)且相互独立，则称nyx/t（n）②设(x1，x2，…xn)是取自正态总体x(,2)的样本。试证nxxi/)(2t（n）证：因为xN(0,1)，212)(niix2(n)，所以nxxi22)(=nxxi/)(2t（n）□③设(x1，x2，…xn)是取自正态总体x(,2)的样本。则t=nSx/t（n-1）证：因x(,2)，所以xN(n2),nx/N(0,1)。又因22)1(Sn2（n-1），且nx/与22)1(Sn相互独立，所以4)1()1(/22nSnnx=nSx/t（n-1）□④设(x1，x2，…xn)和（y1，y2，…yn）是分别取自总体xN(1,2)，yN(2,2)的样本且相互独立，则212122221121112)1()1()()(nnnnSnSnyxt（n1+n2–2）其中S1，S2分别是这两个样本的样本方差。证：把(x-y)看作一个随机变量，则E(x-y)=E(x)-E(y)=1-2Var(x-y)=Var(x)+Var(y)=12n+22n所以x-yN(1-2，12n+22n)，U=212111)()(nnyxN(0,1)由给定条件知2211)1(Sn2（n1-1），2222)1(Sn2（n2-1）且相互独立，由2分布的可加性，有V=2211)1(Sn+2222)1(Sn2（n1+n2–2）按t分布定义，)2/(21nnVU=2)1()1(111)()(212222112121nnSnSnnnyx=212122221121112)1()1()(nnnnSnSnyxt（n1+n2–2）□5(4)统计量F的抽样分布①若x2（n1），y2（n2）,且x与y相互独立，则F=21//nynx),(21nnF②设(x1,x2,…,xn),(y1,y2,…,yn)分别是取自N(1,12),N(2,22)总体的独立样本。222121/)(/)(nynxii2122F(n1,n2)证：由上知2121)(ix2（n1）,2222)(iy2（n2），所以2222212121/)(/)(nynxii=222121/)(/)(nynxii2122).,(21nnF□③设(x1，x2，…xn)和(y1，y2，…yn)分别取自两个相互独立的正态总体N(1,12)，N(2,22)的样本，则F=22222121//SS),(1211nnF其中S21，S22分别是两个样本的样本方差。证：21211)1(Sn2（n1-1），22222)1(Sn2（n2-1）则)1/()1()1/()1(222222121211nSnnSn=22222121//SS=F)1,1(21nnF□证明：2/1F(f1,f2)=),(2/121ffF证：P{2/1F(f1,f2)21222221.SSF/2(f1,f2)}=1-P{21222221.SS2/1F(f1,f2)}=2,P{22212122.SS),(2/1211ffF}=2因22212122.SSF(f2,f1),)2,1(2/11ffF=F/2(f2,f1)6所以F1-/2(f1,f2)=)1,2(2/1ffF□(5)样本比率p的抽样分布设容量为N的总体中，具有某种性质的元素数为X个，则关于具有这种性质的元素数的总体比率是p=NX若从该总体中抽取容量为n的样本，具有该种性质的元素数为x，则关于该种元素的样本比率是p=nx若采用重复抽样方式，设x=x1+x2+…+xn为n个Bernouli变量之和，则xB(n,p)，x=0,1,2,…,n，（服从二项分布）。x的概率分布是p(x)=Cnxpx(1-p)n–x,x=0,1,2,…,n因为p和x只差一个常数，所以p也服从二项分布。p=nxB(n,p),(nx=0,n1,n2,…,1)p(p)=pnnCpnppnnp)1(,p=0,n1,n2,…,1已知：E(x)=npVar(x)=np(1-p)所以，E(p)=E(nx)=n1E(x)=n1np=pVar(p)=21nVar(x)=)1(12pnpn=npp)1(对于大样本（np5,n(1-p)5）,依据中心极限定理近似有如下关系成立。pN(p,npp)1())()(pVarpEp=npppp)1(N(0,1)