经济数学课件

三、多元函数的极限二、多元函数的概念四、多元函数的连续性五、小结思考题第一节多元函数的基本概念一、区域设),(000yxP是xoy平面上的一个点，是某一正数，与点),(000yxP距离小于的点),(yxP的全体，称为点0P的邻域，记为),(0PU，1.邻域(neighborhood)0P),(0PU||0PPP.)()(|),(2020yyxxyx一、区域(region)2.内点(innerpoint)、边界点和聚点.)(的内点为则称，的某一邻域一个点．如果存在点是平面上的是平面上的一个点集，设EPEPUPPE的边界点．为则称）属于，也可以不本身可以属于（点的点也有不属于的点于的任一个邻域内既有属如果点EPEEPEEP,,EPP．的边界的边界点的全体称为)(boundaryEE.41,.3;,,41.2;,,41.1,,41,2020202020202020202020022yxyxyxEEEEPyxyxEEPyxRyxPyxyxE或的边界的聚点也是的边界点为则点或若的聚点也是的内点为则点若点设点集举例.,,00的聚点为则称，也可不属于本身可属于中的点总有的去心邻域，如果对于任意给定的EPEEPEPUP(pointofaccumulation)3.开集(opener)与闭集(closedset)EP}41),{(221yxyxE例如即为开集；;2中的开集是则称的点都是内点，如果点集REE.22中的闭集是则称中的开集，是的余集如果REREEc}41),{(222yxyxE即为闭集；}41),{(223yxyxE即非开集也非闭集.,2RE设集合4.有界集(boundedset)与无界集.,,,,0,2222中的有界集是则称都有使得对所有的如果存在常数设集合REkyxOPEyxPkRE一个集合如果不是有界集，就称为无界集.5.区域、闭区域是连通的．开集，则称且该折线上的点都属于连结起来，任何两点，都可用折线内是开集．如果对于设DDDD连通的开集称为区域(region)或开区域．}.41|),{(22yxyx例如，xyo开区域连同它的边界一起称为闭区域.}.41|),{(22yxyx例如，xyo注：n维空间中邻域、区域等概念nRPPPPPU,||),(00内点、边界点、区域等概念也可定义．邻域：二、多元函数的概念(functionsofseveralvariables)。上）的图形（或图像）（在为函数中的子集的值域，并且称称为函数的定义域，称为函数称为因变量，称为自变量，其中或值）函数，记作元（实上的一个称为定义在的任一映射到实数集的一个非空子集，从是设DxfyDxxfyyxxxRfDxxfDffDyxxxDxxxxfxfyRRDfnDfRDRDnnnnnn,,,,,,,,,,,,:2112121定义121232323,,,,,,.,,,..nxxxxxxyxyzRRPxyMxyzzfPufM在等于与时，习惯上将点与分别写成与这时若用字母表示或中的点，则通常写成或等二元函数与三元函数也可简记为或例1求的定义域．222)3arcsin(),(yxyxyxf解013222yxyx22242yxyx所求定义域为}.,42|),{(222yxyxyxD二元函数的图形),(yxfz设函数),(yxfz的定义域为D，对于任意取定的DyxP),(，对应的函数值为),(yxfz，这样，以x为横坐标、y为纵坐标、z为竖坐标在空间就确定一点),,(zyxM，当x取遍D上一切点时，得一个空间点集}),(),,(|),,{(Dyxyxfzzyx，这个点集称为二元函数的图形.（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面.xyzoxyzsin例如,图形如右图.2222azyx例如,如右图，为球面.}.),{(222ayxyxD222yxaz.222yxaz单值分支:约定,凡用算式表达的多元函数,除另有说明外,其定义域是指的自然定义域．与一元函数类似，当我们用某个算式表达多元函数时，凡是使算式有意义的自变量所组成的点集称为这个多元函数的自然定义域．一元函数的单调性、奇偶性、周期性等性质的定义在多元函数中不再适用，但有界性的定义仍然适用.定义设函数),(yxfz的定义域为),(,000yxPD是其内点或边界点，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式20200)()(||0yyxxPP的一切点，都有|),(|Ayxf成立，则称A为函数),(yxfz当0xx，0yy时的极限，记为Ayxfyyxx),(lim00（或)0(),(Ayxf这里||0PP）.三、多元函数的极限说明：（1）定义中的方式是任意的，即0PP（2）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．000PPPP例2求证证01sin)(lim222200yxyxyx01sin)(2222yxyx22221sinyxyx22yx,0,当时，22)0()0(0yx01sin)(2222yxyx原结论成立．例3求极限.)sin(lim22200yxyxyx解22200)sin(limyxyxyx,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0,1222yxyxx21,00x.0)sin(lim22200yxyxyxyxu2例4证明不存在．证26300limyxyxyx取,3kxy26300limyxyxyx6263303limxkxkxxkxyx,12kk其值随k的不同而变化，故极限不存在．不存在.观察26300limyxyxyx,263图形yxyxz播放（1）令),(yxP沿kxy趋向于),(000yxP，若极限值与k有关，则可断言极限不存在；（2）找两种不同趋近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，但两者不相等，此时也可断言),(yxf在点),(000yxP处极限不存在．确定极限不存在的方法：设n元函数)(Pf的定义域为点集0,PD是其内点或边界点.如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式||00PP的一切点DP，都有|)(|APf成立，则称A为n元函数)(Pf当0PP时的极限，记为APfPP)(lim0.n元函数的极限推广:设函数),(yxf的定义域为点集)(,0,00yxPD是D的内点或边界点,且DP0，如果)()(lim00PfPfPP,则称函数),(yxf在点0P处连续(continuation).如果),(yxf在点),(000yxP处不连续，则称0P是函数),(yxf的间断点.四、多元函数的连续性定义例5讨论函数)0,0(),(,0)0,0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在(0,0)处的连续性．解取,cosxsiny)0,0(),(fyxf)cos(sin3322)0,0(),(fyxf故函数在(0,0)处连续.),0,0(),(lim)0,0(),(fyxfyx,0,2当时220yx例6讨论函数0,00,),(222222yxyxyxxyyxf在(0,0)的连续性．解取kxy2200limyxxyyx22220limxkxkxkxyx21kk其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子表示的函数。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．例７.11lim00xyxyyx求解)11(11lim00xyxyxyyx原式111lim00xyyx.21).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP处连续，于是点在的定义域的内点，则是数，且是初等函时，如果一般地，求闭区域上连续函数的性质在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值．（2）最大值和最小值定理（1）有界性定理有界闭区域D上的多元连续函数是D上的有界函数．在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．（3）介值定理多元函数极限的概念及极限不存在的判定多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的任意性）五、小结区域、多元函数的概念思考题？最近的点存在？为什么点最远和上是否一定有到一点。问外为，为空间任一有界闭区域设PP思考题解答有.点。在，对应的点即为最值最大值和最小值存数的性质可知，一定有域上连续函上的连续函数，由闭区它是离为任意一点。则两点间距上为，点的坐标为设202020000)()()(),,(),,(zzyyxxPQzyxQzyxP一、填空题:1.若yxxyyxyxftan),(22,则),(tytxf=____.2.若xyyxyxf2),(22,则)3,2(f__________;),1(xyf________________.3.若)0()(22yyyxxyf,则)(xf________.4.若22),(yxxyyxf,则),(yxf_________.函数)1ln(4222yxyxz的定义域是__________.练习题5.6．函数yxz的定义域是______________.7．函数xyzarcsin的定义域是_______________.8．函数xyxyz2222的间断点是________________.二、求下列各极限:1.xyxyyx42lim00；2.xxyyxsinlim00；3.22222200)()cos(1limyxyxyxyx.三、证明：0lim2200yxxyyx.四、证明极限yxxyyx11lim00不存在.一、1.),(2yxft；2.1213,),(yxf；3.xx21；4.yyx112；5.xyyxyx4,10),(222；6.yxyxyx2,0,0),(；7.xyxxyx,0),(xyxxyx,0),(；8.02),(2xyyx.二、1.41；2.0；3..练习题答案