导数及偏导数计算

第四讲导数及偏导数计算实验目的１．进一步理解导数概念及其几何意义.２．学习matlab的求导命令与求导法.实验内容１．学习matlab命令.建立符号变量命令sym和syms调用格式:x=sym('x')，建立符号变量x；symsxyz，建立多个符号变量x，y，z；matlab求导命令diff调用格式:diff(函数)，求的一阶导数；diff(函数，n)，求的n阶导数(n是具体整数)；diff(函数，变量名)，求对的偏导数；diff(函数，变量名，n)，求对的n阶偏导数；matlab求雅可比矩阵命令jacobian，调用格式:jacobian([函数；函数；函数]，[])给出矩阵:２．导数概念.导数是函数的变化率，几何意义是曲线在一点处的切线斜率.（１）点导数是一个极限值.例3.1.设，用定义计算.解:在某一点的导数定义为极限:我们记，输入命令:symsh；limit((exp(0+h)-exp(0))/h，h，0)得结果:ans=１．可知（２）导数的几何意义是曲线的切线斜率.例3.2.画出在处()的切线及若干条割线，观察割线的变化趋势.解:在曲线上另取一点，则的方程是:.即取，分别作出几条割线.h=[3,2,1,0.1,0.01];a=(exp(h)-1)./h;x=-1:0.1:3;plot(x,exp(x),'r.');holdonfori=1:5;plot(h(i),exp(h(i)),'r.')plot(x,a(i)*x+1)endaxissquare作出在处的切线plot(x,x+1,'r.')从图上看，随着与越来越接近，割线越来越接近曲线的割线．３．求一元函数的导数.（１）的一阶导数.例3.3.求的导数.解:打开matlab指令窗，输入指令:symsx;dy_dx=diff(sin(x)/x)得结果:dy_dx=cos(x)/x-sin(x)/x^2.matlab的函数名允许使用字母、空格、下划线及数字，不允许使用其他字符，在这里我们用dy_dx表示例3.4.求的导数.解:输入命令:dy_dx=diff(log(sin(x)))得结果:dy_dx=cos(x)/sin(x).在matlab中，函数用log(x)表示，而log10(x)表示例3.5.求的导数.解:输入命令:dy_dx=diff((x^2+2*x)^20).得结果:dy_dx=20*(x^2+2*x)^19*(2*x+2).注意输入时应为2*x.例3.6.求的导数.解:输入命令:dy_dx=diff(x^x).得结果:dy_dx=x^x*(log(x)+1).利用matlab命令diff一次可以求出若干个函数的导数.例3.7.求下列函数的导数:1.2.3.4.解:输入命令:a=diff([sqrt(x^2-2*x+5)，cos(x^2)+2*cos(2*x)，4^(sin(x))，log(log(x))]).得结果:a=[1/2/(x^2-2*x+5)^(1/2)*(2*x-2)，-2*sin(x^2)*x-4*sin(2*x)，4^sin(x)*cos(x)*log(4)，1/x/log(x)].dy1_dx=a(1)dy1_dx=1/2/(x^2-2*x+5)^(1/2)*(2*x-2).dy2_dx=a(2)dy2_dx=-2*sin(x^2)*x-4*sin(2*x).dy3_dx=a(3)dy3_dx=4^sin(x)*cos(x)*log(4).dy4_dx=a(4)dy4_dx=1/x/log(x).由本例可以看出，matlab函数是对矩阵或向量进行操作的，a(i)表示向量a的第i个分量.（２）参数方程所确定的函数的导数.设参数方程确定函数，则的导数例3.8.设，求解:输入命令:dx_dt=diff(a*(t-sin(t)))；dy_dt=diff(a*(1-cos(t)))；dy_dx=dy_dt/dx_dt.得结果:dy_dx=sin(t)/(1-cos(t)).其中分号的作用是不显示结果.４．求多元函数的偏导数.例3.9.设求u的一阶偏导数.解:输入命令:diff((x^2+y^2+z^2)^(1/2)，x).得结果:ans=1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*x.在命令中将末尾的x换成y将给出y的偏导数:ans=1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*y.也可以输入命令:jacobian((x^2+y^2+z^2)^(1/2)，[xy]).得结果:ans=[1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*x，1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*y]给出矩阵例3.10.求下列函数的偏导数:1.2.解:输入命令:diff(atan(y/x).得结果:ans=-y/x^2/(1+y^2/x^2).输入命令:diff(atan(y/x)，y).得结果:ans=1/x/(1+y^2/x^2).输入命令:diff(x^y，x).得结果:ans=x^y*y/x.输入命令:diff(x^y，y).得结果:ans=x^y*log(x).使用jacobian命令求偏导数更为方便.输入命令:jacobian([atan(y/x)，x^y]，[x，y]).得结果:ans=[-y/x^2/(1+y^2/x^2)，1/x/(1+y^2/x^2)][x^y*y/x，x^y*log(x)].５．求高阶导数或高阶偏导数.例3.11.设，求.解:输入指令:diff(x^2*exp(2*x)，x，20).得结果:ans=99614720*exp(2*x)[phone]*x*exp(2*x)+1048576*x^2*exp(2*x)例3.12.设，求,,解:输入命令:diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2，x，2)可得到:ans=30*x^4+4*y^2.将命令中最后一个x换为y得:ans=-36*y^2+4*x^2.输入命令:diff(diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2，x)，y)可得:ans=8*x*y同学们可自己计算比较它们的结果.注意命令:diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2，x，y)，是对y求偏导数，不是求６．求隐函数所确定函数的导数或偏导数例3.13.设，求解:，先求，再求输入命令:df_dx=diff(log(x)+exp(-y/x)-exp(1)，x)得到:df_dx=1/x+y/x^2*exp(-y/x).输入命令:df_dy=diff(log(x)+exp(-y/x)-exp(1)，y)得到:df_dy=-1/x*exp(-y/x)输入命令:dy_dx=-df_dx/df_dy可得所求结果:dy_dx=-(-1/x-y/x^2*exp(-y/x))*x/exp(-y/x).例3.14.设，求,解:输入命令:a=jacobian(sin(x*y)+cos(y*z)+tan(z*x)，[x，y，z])可得矩阵a=[cos(x*y)*y+(1+tan(z*x)^2)*z，cos(x*y)*x-sin(y*z)*z，-sin(y*z)*y+(1+tan(z*x)^2)*x].输入命令:dz_dx=-a(1)/a(3)得:dz_dx=(-cos(x*y)*y-(1+tan(z*x)^2)*z)/(-sin(y*z)*y+(1+tan(z*x)^2)*x)输入命令:dz_dy=-a(2)/a(3)得:dz_dy=(-cos(x*y)*x+sin(y*z)*z)/(-sin(y*z)*y+(1+tan(z*x)^2)*x)练习1.求下列函数的导数.(1))11)(1(xxy(2)xxxylnsin(3)221sin2xy(4))ln(22axxy2.求下列参数方程所确定的函数的导数.(1)tytx44(2)arctgttytx)1ln(23.求下列隐函数的导数.(1)22lnyxxyarctg(2)xyyx4.设xeyxcos，求)4(y.5.验证xeyxsin满足关系式:022yyy6.求下列函数的偏导数.(1))sin(2xyxz(2)zyxu7.设)ln(yxxu，求22xu，22yu，yxu2.8.求下列多元隐函数的偏导数yzxz,.(1)1coscoscos222zyx(2)xyzez9.证明函数22)()(lnbyaxu(ba,为常数)满足拉普拉斯方程:02222yuxu（提示：对结果用simplify化简）