(整理)高等数学教案ch82偏导数

精品文档精品文档§82偏导数一、偏导数的定义及其计算法对于二元函数zf(xy)如果只有自变量x变化而自变量y固定这时它就是x的一元函数这函数对x的导数就称为二元函数zf(xy)对于x的偏导数定义设函数zf(xy)在点(x0y0)的某一邻域内有定义当y固定在y0而x在x0处有增量x时相应地函数有增量f(x0xy0)f(x0y0)如果极限xyxfyxxfx),(),(lim00000存在则称此极限为函数zf(xy)在点(x0y0)处对x的偏导数记作00yyxxxz00yyxxxf00yyxxxz或),(00yxfx例如：xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000类似地函数zf(xy)在点(x0y0)处对y的偏导数定义为yyxfyyxfy),(),(lim00000记作00yyxxyz00yyxxyf00yyxxyz或fy(x0y0)偏导函数如果函数zf(xy)在区域D内每一点(xy)处对x的偏导数都存在那么这个偏导数就是x、y的函数它就称为函数zf(xy)对自变量x的偏导函数记作xzxfxz或),(yxfx偏导函数的定义式xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0类似地可定义函数zf(xy)对y的偏导函数记为yzyfzy或),(yxfy精品文档精品文档偏导函数的定义式yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(0求xf时只要把y暂时看作常量而对x求导数求yf时只要把x暂时看作常量而对y求导数讨论下列求偏导数的方法是否正确？00),(),(00yyxxxxyxfyxf00),(),(00yyxxyyyxfyxf0]),([),(000xxxyxfdxdyxf0]),([),(000yyyyxfdydyxf偏导数的概念还可推广到二元以上的函数例如三元函数uf(xyz)在点(xyz)处对x的偏导数定义为xzyxfzyxxfzyxfxx),,(),,(lim),,(0其中(xyz)是函数uf(xyz)的定义域的内点它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题例1求zx23xyy2在点(12)处的偏导数解yxxz32yxyz238231221yxxz7221321yxyz例2求zx2sin2y的偏导数解yxxz2sin2yxyz2cos22例3设)1,0(xxxzy求证zyzxxzyx2ln1证1yyxxzxxyzylnzxxxxxyxyxyzxxzyxyyyy2lnln1ln11例4求222zyxr的偏导数解rxzyxxxr222ryzyxyyr222例5已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数)精品文档精品文档求证1pTTVVp证因为VRTp2VRTVppRTVpRTVRpVTRVpT所以12pVRTRVpRVRTpTTVVp例5说明的问题偏导数的记号是一个整体记号不能看作分子分母之商二元函数zf(xy)在点(x0y0)的偏导数的几何意义fx(x0y0)[f(xy0)]x是截线zf(xy0)在点M0处切线Tx对x轴的斜率fy(x0y0)[f(x0y)]y是截线zf(x0y)在点M0处切线Ty对y轴的斜率偏导数与连续性对于多元函数来说即使各偏导数在某点都存在也不能保证函数在该点连续例如000),(222222yxyxyxxyyxf在点(00)有fx(00)0fy(00)0但函数在点(00)并不连续提示0)0,(xf0),0(yf0)]0,([)0,0(xfdxdfx0)],0([)0,0(yfdydfy当点P(xy)沿x轴趋于点(00)时有00lim)0,(lim),(lim00)0,0(),(xxyxxfyxf当点P(xy)沿直线ykx趋于点(00)时有22222022)0,0(),(1limlimkkxkxkxyxxyxkxyyx精品文档精品文档因此),(lim)0,0(),(yxfyx不存在故函数f(xy)在(00)处不连续类似地可定义函数zf(xy)对y的偏导函数记为yzyfzy或),(yxfy偏导函数的定义式yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(0二高阶偏导数设函数zf(xy)在区域D内具有偏导数),(yxfxzx),(yxfyzy那么在D内fx(xy)、fy(xy)都是xy的函数如果这两个函数的偏导数也存在则称它们是函数zf(xy)的二偏导数按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数如果函数zf(xy)在区域D内的偏导数fx(xy)、fy(xy)也具有偏导数则它们的偏导数称为函数zf(xy)的二阶偏导数按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数),()(22yxfxzxzxxx),()(2yxfyxzxzyxy),()(2yxfxyzyzxyx),()(22yxfyzyzyyy其中),()(2yxfyxzxzyxy),()(2yxfxyzyzxyx称为混合偏导数22)(xzxzxyxzxzy2)(xyzyzx2)(22)(yzyzy同样可得三阶、四阶、以及n阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数例6设zx3y23xy3xy1求22xz、33xz、xyz2和yxz2精品文档精品文档解yyyxxz32233xxyyxyz23922226xyxz2336yxz196222yyxyxz196222yyxxyz由例6观察到的问题yxzxyz22定理如果函数zf(xy)的两个二阶混合偏导数xyz2及yxz2在区域D内连续那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数例7验证函数22lnyxz满足方程02222yzxz证因为)ln(21ln2222yxyxz所以22yxxxz22yxyyz222222222222)()(2)(yxxyyxxxyxxz222222222222)()(2)(yxyxyxyyyxyz因此0)()(22222222222222yxxyyxyxyzxz精品文档精品文档例8．证明函数ru1满足方程0222222zuyuxu其中222zyxr证32211rxrxrxrrxu52343223131rxrxrrxrxu同理5232231ryryu5232231rzrzu因此)31()31()31(523523523222222rzrryrrxrzuyuxu033)(3352352223rrrrzyxr提示6236333223)()(rxrrxrrrxxrrxxxu精品文档精品文档