一元二次方程复习课学案及练习

一元二次方程学案本章知识结构考点考法说明：课标对于一元二次方程的要求主要包括一元二次方程的概念，会用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，以及用一元二次方程的知识解决实际问题。一元二次方程应用广泛，在日常生活、科学技术、环境保护、经济发展等领域均有涉及，解题关键是分析题中的等量关系，列方程解应用题以及方程与不等式、函数等结合的综合性题目将是今后中考的趋势。中考中对这章的考查形式多样，注重对学生方程思想、转化思想等思想方法的考查，对于学生分析问题和解决问题的能力要求也比较高。【考点一】考查概念问题通常是考查一元二次方程的定义，此时要注意二次项系数不为0，在讨论含字母系数的一元二次方程问题时，命题者常利用a≠0设计陷阱。例1．（1）方程(m+1)xm2-2m-1+7x-m=0是一元二次方程，则m=．方程的解法实际问题一元二次方程应用直接开平方法因式分解法配方法公式法思路分析：首先根据一元二次方程的定义得，m2-2m-1=2；再由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的定义中a≠0这一条件得m+1≠0来求m的值．解：m=3．（2）若关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0的常数项为0，则m等于（）A．1B．2C．1或2D．0思路分析：首先得出m2-3m+2=0；再由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的定义中a≠0这一条件得m-1≠0来求m的值．解：m=2．【考点二】一元二次方程的解法要根据方程的特点，灵活选用具体方法。对于特殊的方程要通过适当的变换，使之转化为常规的一元二次方程，如用换元法。例2．用适当的方法解一元二次方程(1)x2=3x(2)(x-1)2=3(3)x2-2x-99=0(4)2x2+5x-3=0思路分析：方程（1）选用因式分解法；方程（2）选用直接开平方法；方程（3）选用配方法；方程（4）选用公式法例3．若(x2+y2)2-4(x2+y2)-5=0,则x2+y2=_________。思路分析：用换元法设x2+y2=m得m2-4m-5=0，解得m1=5，m2=-1对所求结果，还要结合“x2+y2”进行取舍，从而得到最后结果．解：x2+y2=5【考点三】一元二次方程的根的判别式可以用来：(1)不解方程，判断根的情况；(2)利用方程有无实数根，确定取值范围，解题时，务必分清“有实数根”、“有两个实数根”，“有两个相等实数根”，“有两个不相等实数根”等关键性的字眼。例4.（1）一元二次方程x2-2x-1=0的根的情况为（）Ａ．有两个相等的实数根Ｂ．有两个不相等的实数根Ｃ．只有一个实数根Ｄ．没有实数根思路分析：b2-4ac=(-2)2-4×(-1)=80解：B（2）若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k-1B.k-1且k≠0C.k1D.k1且k≠0思路分析：b2-4ac=(-2)2-4×(-1)k=4k+40得k-1，再由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的定义中a≠0这一条件得k≠0．解：B例5．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根，求的值。思路分析：分式化简，一元二次方程根的判别式解：∵ax2+bx+1=0(a≠0)有两个相等的实数根，∴b2-4a=0．∵a≠0，∴【考点四】列方程解应用题虽然是传统的题型，但一直是中考的热点,近年来热点又有新特点，注重考查了能力问题，表面文字比较复杂,但认真阅读，抓住实质，问题就迎刃而解了。例6.上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元,下列所列方程中正确的是（）A．168(1+a%)2=128B．168(1-a%)2=128C．168(1-2a%)=128D．168(1-a2%)=128思路分析：增长率问题，利用关系式：变化前数量×(1±x)2=变化后的数量。解：B例7.某商场将销售成本为30元的台灯以40元的价格售出，平均每月销售600个．市场调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，每月平均销售数量将减少10个．若销售利润率不得高于100％，那么销售这种台灯每月要获利10000元，台灯的售价应定为多少元？思路分析：如果这种台灯售价上涨x元，那么每个台灯获利(40＋x－30)元，每月平均销售数量为(600－10x)个，销售利润为(40＋x－30)和(600－10x)的积．用一元二次方程解决实际问题时，所求得的结果往往有两个，而实际问题的答案常常是一个，这就需要我们仔细审题，看清题目的要求，进而作出正确的选择。解：设这种台灯的售价上涨x元，根据题意，得(40＋x－30)(600－10x)=10000．即x2-50x+400=0．解得x1=10，x2=40．所以每个台灯的售价应定为50元或80元．当台灯售价定为80元时，销售利润率为不符合要求；当台灯售价定为50元时，销售利润率为符合要求．答：每个台灯售价应是50。一元二次方程复习课一、课前延伸（一）知识点梳理1.一元二次方程的概念2.一元二次方程的解法（1）列举解法：FEDCBA（2）解法比较：3.根的判别式及与一元二次方程之间的关系：4.用一元二次方程解决问题(1)解决问题的思路：（2）列一元二次方程解决问题的步骤：（二）.画出本章的知识树二、课内探究（一）独立思考，解决下列问题1.下列关于x的方程：其中是一元二次方程的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个2.解下列方程：（1）2（x-1)2=32（开平方法与因式分解法）（2）-3x2+4x=2（配方法与公式法）3.不解方程，判别方程3x2+2x-9=0根的情况.4.某超市10月份的利润为25000元，要使12月份的利润达到36000元，平均每月的增长率是多少？5.用7m长的铝合金做成透光面积（矩形ABCD的面积）为2m2的“日”型窗框（ABBC)，求窗框的宽度？（铝合金的宽度忽略不计）1)4(,02)3(,53)2(,032)1(223222yxxxxxxxDCBA（二）、合作讨论，交流答案（三）、精讲点拨（四）、有效训练1.关于x的方程（m+3)x|m|-1-2x+4=0是一元二次方程，则m=.2.请用四种方法解方程：（2x-3)2=x23.（1）关于x的一元二次方程x2-4x+2m=0无实数根，求m的取值范围（2）关于x的一元二次方程mx2-4x+2=0有实数根，求m的取值范围.4.某产品的生产成本为1000元，进过两次改进技术后该产品的成本为720元，若第一次改进技术成本降低的百分率是第二次的2倍，求第二次成本降低的百分率？5.用7m长的铝合金改做做成透光面积为2m2的如左图所示形状的窗框，若窗框的宽（BC）的长为xm,求x的值.（铝合金的宽度忽略不计，π≈3）（只需列出方程）三、课后提升1.某商场销售一批衬衫，每件成本为50元，如果按每件60元出售，可销售800件；如果每件提价5元出售，其销售量就减少100件.如果商场销售这批衬衫要获利润12000元，又使顾客获得更多的优惠，那么这种衬衫售价应定为多少元？DCBAQP2.如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；点Q以2cm/s的速度向点D移动.经过多长时间P、Q之间的距离是10cm？一元二次方程练习题一、选择题：1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（）A．0132xB．44xxC．522yxD．0322xax2．用配方法解方程xx432时，正确的配方是（）A．722xB．122xC．122xD．722x3．根据下列表格的对应值：x23.324.325.326.3cbxax206.002.003.009.0判断关于x的一元二次方程002acbxax的一个解x的范围是（）A．23.33xB．24.323.3xC．25.324.3xD．26.325.3x4．若分式34922xxx的值为零，则x的值为（）A．3B．3或3C．0D．35．若代数式122yyy比的值大1，则y的值为（）A．1B．1C．1D．0或16．某服装原价为200元，连续两次涨价a℅后，售价为242元，则a的值为（）A．5B．10C．15D．207．直角三角形三边长为三个连续偶数，它的面积为24，则该直角三角形的边长为（）A．10,8,6B．8,6,4C．5,4,3D．17,12,58.某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元．问二月、三月的产值的月平均增长率是多少？设二月、三月的产值月平均增长率为x，根据题意，所列方程为（）A．1751502xB．175150502xC．1751501502xxD．175150150502xx9．小明、小亮、小梅、小花四人共同探究代数式542xx的值的情况．他们作了如下分工：小明负责找值为1时x的值，小亮负责找值为0时x的值，小梅负责找最小值，小花负责找最大值．几分钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是（）A．小明认为只有当2x时，542xx的值为1；B．小亮认为找不到实数x，使542xx的值为0；C．小梅发现542xx的值随x的变化而变化，因此认为没有最小值；D．小花发现当x取大于2的实数时，542xx的值随x的增大而增大，因此认为没有最大值．10．已知等腰三角形三边长分别为cba,,，其中b为底边，若关于x的一元二次方程022cbxax满足04)2(2acb，则等腰三角形的一个底角是（）A．060B．045C．030D．015二、填空题：11．把方程622xx化成一般形式是＿＿＿＿＿＿＿＿，它的二次项系数是＿＿＿，一次项是＿＿＿，常数项是＿＿＿.12．写出关于x的一元二次方程002acbxax的求根公式.13．方程9)3(2x的解为＿＿＿＿＿＿＿.14．方程xxx2)3(的解为＿＿＿＿＿＿＿.15．关于x的一元二次方程)3(m2x+3252mmx0有一个根为0，则m_____.16．已知实数x满足012)(4)(222xxxx，则代数式12xx的值为.17．已知三角形两边的长是6和8，第三边的长是方程060162xx的一个根，则该三角形的面积是.18．如图1，在一块长m92、宽m60的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为2885m的6个矩形小块，水渠应挖多宽?设水渠应挖xm宽，根据题意，可列方程：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.19．已知a是一元二次方程0120082xx的一个根，则代数式12008200722aaa的值是__________.20．在△ABC中，BC＝32，AB＝c，AB边上的中线CD＝m，且mc,满足0204822mcmc，则∠A的度数是°.三、解答题21．解下列方程（1）222413xx（2）01322xx（3）0642xx（用配方法求解）（4）02533)53(2xx22．某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，每天可售出100件．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经过市场调查，发现这种商品售价每降低1元，商场销量平均每天可增加10件．（1）假设销售单价降低x元，那么销售每件这种商品所获得的利润是元；这种商品每天的销售量是件（用含x的代数式表示）；（2）若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？23．如图，某剧组在东海拍摄广泛风光片，拍摄基地位于A处，在其正南方向15海里处有一小岛B，在B的正东方向20海里处有一小岛C，小岛D位于AC上，且距小岛A10海里．（1）求点D到BC的距离；（2）摄制组甲从A处乘甲船出发，沿A→B→C的方向匀速航行，摄制组乙从D处乘乙