微分几何-§6------曲面上的测地线

kg,222kkkgn6.1曲面上曲线的测地曲率曲面上曲线C在其上一点P曲率向量在上的投影称为C在P点的测地曲率。有..rk..gkrk命题1§6曲面上的测地线121122r=r(u,u)，u=u(s),u=u(s)曲面上曲线C的..rk在n的投影为若记cosnkkknnn，，考虑在上投影即测地曲率..rk..singkrkknknk（，，）n,,,n共面可证C*命题2曲面S上的曲线C，它在点P的测地曲率的绝对值等于C在点P的切平面上的正投影曲线的曲率。这是测地曲率的几何意义*||CgCkk****,|cgCCk为所在平面与S的交线-法截线,由梅尼埃定理,以为方向的法曲率的绝对值是C的曲率,又是k=|k证：曲线C和C*组成的曲面是射影柱面，记为S*S*在P的切平面由,,n组成为法向下面给出测地曲率的一般计算公式设曲面曲线其中s是自然参数s,s:Cuuu,22有...(,,(,,,,)gkknknrrn))=(.2..2,22,,,iiiijikijijiijiijijkkijkijkijkijkdurrdsdududurrrdsdsdsdududududurLnrdsdsdsdsds)](,12122jijiijdsddsdddsduusudu代入有12222,[()ijgijijdudududukgdsdsdsdsv,urr0FdsduEsdsdkGddsdvdudsdugvg222222[dsdvGdsduGdsduGdsdvGvu222dsdvEdsduEu22当曲面上的坐标网为正交网时，公式化简为：这个测地曲率的计算公式还是不实用12223()()2vuEGdududuEdsdsEdsrucos2EGdsdEkvgsin2EGGucosln21vEGdsdcosln21uGE若再令曲线的切方向和的夹角为θ,注意到这个公式称为刘维尔公式。cossincossin,uvuvrrdrdsEGdudvdudvrrdsdsdsdsEG22222222sincoscossin22cossincossin22uvuuEEduddsdsEEEEGGGdvddsdsGGGEG再求二阶导数有代入上页公式有命题1曲面上非直线的曲线是测地线的充要条件是除了曲率为零的点以外，曲线的主法线重合于曲面的法线。6.2.曲面上的测地线曲面上的一条曲线，如果它的一点处的测地曲率为零，则称为测地线。0n或显然曲面上的直线是测地线显然球面上的大圆是测地线因为..singkrkknknk（，，）..2..2,,,0,1,200llijijkkijkijkijkijknrlrrndududududurrLnrdsdsdsdsds22,()0,kijkklijkijdududugdsdsds22,0,1,2kijkijijdududukdsdsds因为从而有方程2..2,,()kijijkijkijkijijdududududurrLndsdsdsdsds..||,rkn因为这就是测地线方程由上一节介绍的刘维尔公式也可以得到曲面上的坐标网为正交网时，曲面上测地线的方程。v,urr1ln1lncossin221cos1sindEGdsvuGEdudsEdvdsG由刘维尔公式令=0,即有kg由此在给出初始条件下可求测地线惟一的解.222dsdudv1,0,0uvuvEGFEEGG0,.dconstdscos,sin,cotdudvduconstdsdsdvuavb代入测地线的方程得即是平面上的直线。例:利用刘维尔公式证明：平面上的测地线为直线证明：对于平面命题2过曲面上任一点，给定一个曲面的切方向，则存在唯一一条测地线切于此方向。测地线的存在性22,0,1,2kijkijijdududukdsdsds由测地线的微分方程在初始要件000,,()kkkkdudussuudsds由微分方程知识知有唯一解曲面上任一点，给定一个的切方向，则存在唯一一条测地线切于此方向6.3.曲面上的半测地坐标网曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线，另一的族是测地线的正交轨线，则这个坐标网称半测地坐标网。定理：给出曲面上一条曲线，则总存在一个半测地坐标网，它的非测地坐标曲线族中包含给定的一条曲线。例平面上的极坐标系，和直角坐标系是半测地网在曲面上建立半测地坐标网，则曲面的第一基本形式可以化简为：.dv,uGddvus222从而使为解题提供方便6.4.曲面上测地的短程性定理若给出曲面上充分小的邻域内两点P和Q则过P,Q,两点的小邻域内的测地线是连接P,Q两点上的曲面曲线中弧长最短的曲线6.5.高斯——波涅公式在曲面上给出一个由条光滑曲线段所围成的曲线多边形。它围成的一个单连通区域，多边形是区域的边缘，记为，设曲面的高斯曲率和测地曲率分别为，曲面的面积元素和弧长元素分别为，则有以下高斯--波涅公式：其中是曲线多边形的第个角。,dsKdGkiigGak21这是三角形三内角和是1800的推广v,urr:S.dv,uGddvus222七.常高斯曲率的曲面在曲面则曲面的第一基本形式可以化简为：上建立半测地坐标网