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全国课外培训前五强愉快教育成功教育1/12培养成功素质助力国家未来卓越教育教案专用学生姓名授课时间：授课科目：数学教学课题勾股定理知识点解析（二）重点、难点能准确证明勾股定理，并能将以灵活运用。教师姓名年级：初二课型:复习课一、作业检查作业完成情况：优□良□中□差□二、课前回顾对上次家庭作业进行检查并评讲三、知识整理知识点1.勾股定理（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边（即：a2+b2＝c2）注意：○1勾股定理揭示的是直角三角形三边关系的定理，只适用于直角三角形。○2应用勾股定理时，要注意确定那条边是直角三角形的最长边，也就是斜边，在Rt△ABC中，斜边未必一定是c，当∠A=90时，a2＝b2+c2；当∠B=90时，b2＝a2+c2例1．（1）如图1所示，在Rt△ABC中，∠C=90,AC=5，BC=12，求AB的长；（2）如图2所示，在Rt△ABC中，∠C=90,AB=25，AC=20，求BC的长（3）在Rt△ABC中,AC=3，BC=4，求AB2的值知识点2.勾股定理的证明ACB图1CBA图2全国课外培训前五强愉快教育成功教育2/12培养成功素质助力国家未来（1）勾股定理的证明方法很多，可以用测量计算，可以用代数式的变形，可以用几何证明，也可以用面积（拼图）证明，其中拼图证明是最常见的一种方法。思路：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGHSSS正方形正方形ABCD，2214()2abbac，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422Sabcabc大正方形面积为222()2Sabaabb所以222abc知识点3.直角三角形的判别条件（1）如果三角形的三边长啊a，b，c，满足a2+b2＝c2足，那么这个三角形为直角三角形（此判别条件也称为勾股定理的逆定理）注意：○1在判别一个三角式是不是直角三角形时，a2+b2是否等于c2时需通过计算说明，不能直接写成a2+b2＝c2。○2验证一个三角形是不是直角三角形的方法是：（较小边长）+(较长边长)=（最大边长）时，此三角形为直角三角形；否则，此三角形不是直角三角形.例1.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）例2.在△ABC中，a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2，其中m，n是正整数，且m＞n,试判断△ABC是不是直角三角形。cbaHGFEDCBAbacbaccabcab全国课外培训前五强愉快教育成功教育3/12培养成功素质助力国家未来知识点4.勾股数满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数。常见的勾股数有：○13,4,5○26,8,10○38,15,17○47,24,25○55,12,13○69,12,15○79,40,41例1．判断下列各组数是不是勾股数（1）3,4,7（2）5,12,13（3）1/3,1/4,1/5(4)3,-4,5四、典型例题题型一、应用勾股定理建立方程【例１】如图，△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高AD．【变式1】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。cbaHGFEDCBAbacbaccabcab全国课外培训前五强愉快教育成功教育4/12培养成功素质助力国家未来【变式2】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。题型二、勾股定理在折叠问题中的应用例1.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使AC恰好落在斜边AB上，且点C与点E重合，求CD的长。【变式1】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。【变式2】在矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF．求DE的长；【变式3】如图，矩形纸片ABCD的边AB＝10cm，BC＝6cm，E为BC上的一点．将矩形纸片沿着全国课外培训前五强愉快教育成功教育5/12培养成功素质助力国家未来AE折叠，点B恰好落在边DC的点G处，求BE的长【变式4】在矩形纸片ABCD中，AB=3，BC=6，沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H，∠BPE=30°，（1）BE的长为________，QF的长为_______；（2）四边形PEFH的面积为_______。题型三、确定几何体上的最短路线例1、如图所示，有一圆柱形油罐，现要以油罐底部的一点A环绕油罐建子（图中虚线），并且要正好建到A点正上方的油罐顶部的B点，已知油罐高AB=5米，底面的周长是的12米，则梯子最短长度为________米【变式1】一只蚂蚁从长为4cm、宽为3cm，高是5cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是____________cm。【变式2】如图，在笔直的铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA=10km，CB=15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求E应建在距A多远处？全国课外培训前五强愉快教育成功教育6/12培养成功素质助力国家未来题型四、勾股定理及逆命题有关的几何证明例1、在四边形ABCD中，∠C是直角，AB=13,BC=3,CD=4,AD=12证明：AD⊥BD【变式1】CD是△ABC中AB边上的高，且CD2=AD×DB，试说明∠ACB=90【变式2】△ABC三边的长为a,b,c，根据下列条件判断△ABC的形状（1）a2+b2+c2+200=12a+16b+20c；（2）a3-a2b+ab2-ac2+bc2-b3=0全国课外培训前五强愉快教育成功教育7/12培养成功素质助力国家未来【变式3】如图△ABC中，∠BAC=90,AB=AC,P为BC上任意一点，求证：BP2+CP2=AP2题型五、勾股定理与旋转例1、在等腰△RtABC中，∠CAB=90，P是三角形内一点，且PA=1,PB=3,PC=7求：∠CPA的大小？【变式1】如图，在等腰△ABC中，∠ACB=90°，D、E为斜边AB上的点，且∠DCE=45°。求证：DE2=AD2+BE2。【变式2】已知，如图△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，全国课外培训前五强愉快教育成功教育8/12培养成功素质助力国家未来求∠BPC五、对应训练一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列各组中，不能构成直角三角形的是（）.（A）9，12，15（B）15，32，39（C）16，30，32（D）9，40，412.如图1，直角三角形ABC的周长为24，且AB：BC=5：3，则AC=（）.（A）6（B）8（C）10（D）123.已知：如图2，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3,则图中阴影部分的面积为（）.（A）9（B）3（C）49（D）294.如图3，在△ABC中，AD⊥BC与D，AB=17，BD=15，DC=6，则AC的长为（）.全国课外培训前五强愉快教育成功教育9/12培养成功素质助力国家未来（A）11（B）10（C）9（D）85.若三角形三边长为a、b、c，且满足等式abcba2)(22，则此三角形是（）.（A）锐角三角形（B）钝角三角形（C）等腰直角三角形（D）直角三角形6.一只蚂蚁沿直角三角形的边长爬行一周需2秒，如果将直角三角形的边长扩大1倍，那么这只蚂蚁再沿边长爬行一周需（）.（A）6秒（B）5秒（C）4秒（D）3秒二、填空题（每小题3分，共30分）11.写出两组直角三角形的三边长.（要求都是勾股数）12.如图6（1）、（2）中，（1）正方形A的面积为.（2）斜边x=.13.如图7，已知在RtABC△中，RtACB，4AB，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为1S，2S，则1S+2S的值等于．14.四根小木棒的长分别为5cm，8cm，12cm，13cm，任选三根组成三角形，其中有个直角三角形.15.如图8，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现直角边沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为．三、简答题18.（8分）如图11，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，全国课外培训前五强愉快教育成功教育10/12培养成功素质助力国家未来该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB=CD=20m，点E在CD上，CE=2m，一滑行爱好者从A点到E点，则他滑行的最短距离是多少？（边缘部分的厚度可以忽略不计，结果取整数）21.如图14，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24米.（1）这个梯子底端离墙有多少米？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？六、课堂小结谈谈你这节课的收获和还有疑惑的地方。全国课外培训前五强愉快教育成功教育11/12培养成功素质助力国家未来七、作业1、折叠矩形纸片，先折出折痕对角线BD，在绕点D折叠，使点A落在BD的E处，折痕DG，若AB=2，BC=1，求AG的长.2、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于3、已知：如图，∠ABD=∠C=90°，AD=12，AC=BC，∠DAB=30°，求BC的长．4、如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则EB的长是（）．A．3B．4C．5D．55、如图5所示，一条清水河的同旁有两个村庄A和B.到河岸l的距离分别为3千米和5千米，两个村的水平距离CD＝6千米．问：要在河边修一个水泵站向两个村供水．需要的水管最少应为多少千米？ACDBADBCB′A′C′D′第14题图E16题FEDCBA全国课外培训前五强愉快教育成功教育12/12培养成功素质助力国家未来CADB6、如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。交教务时间：课时：年级学生姓名：班主任姓名：家长签名