洛必达法则的简便证明

洛必达法则的简便证明（以0xx为例）柯西中值定理可用于证明洛必达法则和泰勒公式.定理（00型，型）若函数f和g满足条件1）00lim()lim()0xxxxfxgx（是说极限为00型不定式）（型中的1）0lim()xxgx）2）0()lim()xxfxAgx（A为实数或，）（是说在0x的某邻域0()Ux内，()()fxgx有意义，且有确定的趋势），则0()lim()xxfxAgx.证明00型型1.A有限故0，0()Ux，0()xUx，()()fxAAgx所以，0,()xxUx且0xxx，由柯西中值定理，(,)xx0()Ux，使()()()()()()fxfxfAAgxgxg令0xx，由保号性，0()lim()xxfxAAgx由实数ab的语言形式的定义，0()lim()xxfxAgx.分子分母同除以()gx，即()()()()()1()fxfxgxgxAAgxgx.令0xx，由0lim()xxgx及保号性，0()lim()xxfxAAgx由ab的语言形式的定义，0()lim()xxfxAgx，即0()lim()xxfxAgx.2.A从0()lim()xxfxgx知()0fx，否则，0()lim0()xxfxgx，与假设矛盾.由无穷小与无穷大的关系，0()lim0()xxgxfx.从而化为已证的A有限的情形，有0()lim0()xxgxfx，故由无穷小与无穷大的关系，0()lim()xxfxAgx.因为00,()GUx，0()xUx，()||()fxGgx.所以，0,()xxUx且0xxx，由柯西中值定理，(,)xx0()Ux，使得()()()||()()()fxfxfGgxgxg.分子分母同除以()gx，有()()()()||||()()()()||()()1|1|()()fxfxfxfxgxgxgxgxGgxgxgxgx.得()()()|||1|||()()()fxgxfxGgxgxgx.因0xx，()1|1|1()()2gxgx及保号性，()1|1|()2gxgx；因0xx，()|0,()fxgx及定义，0，()||()fxgx.于是()1||()2fxGgx，即1()||2()fxGgx.由实数ab的语言形式的定义，()1||()2fxGgx.故0()lim()xxfxAgx，即0()lim()xxfxAgx.注同时满足定理的几个条件才可适用.1）只有断言0()lim()xxfxAgx时（A为实数或，），洛必达法则才能使用.否则，无法使用.例如201sinlimxxxx，0()lim()xfxgx不存在，无法使用定理作判断，其实，201sinlim0xxxx.2）可以在求一个极限时，多次使用.3）及时化简.如约分，或及时分离出存在极限的因子，以免因求导引起解析式更繁琐.如2seclimtanxxx.