高数下册公式总结(修改版)

高等数学（一）教案期末总复习-2-第八章向量与解析几何向量代数定义定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表示向量有大小、有方向.记作a或ABa(,,)xyzxyzaiajakaaa,,xxyyzzaprjaaprjaaprja模向量a的模记作aa222xyzaaa和差cabcab－cab,,xxyyzzababab单位向量0a，则与a同向的单位向量为aaeaae222(,,)xyzxyzaaaaaa方向余弦设a与,,xyz轴的夹角分别为，，，则方向余弦分别为cos，cos，coscosyxzaaaaaa，cos，coscosae(，cos，cos)222cos1+coscos点乘（数量积）cosbaba，为向量a与b的夹角zzyyxxbabababa叉乘（向量积）bacsinbac为向量a与b的夹角向量c与a，b都垂直且右手系zyxzyxbbbaaakjiba定理与公式垂直0abab0xxyyzzabababab平行//0abab//yzxxyzaaaabbbb交角余弦两向量夹角余弦babacos222222cosxxyyzzxyzxyzabababaaabbb投影向量a在非零向量b上的投影cos()babprjaaabb222xxyyzzbxyzabababprjabbb平面直线法向量{,,}nABC点),,(0000zyxM方向向量{,,}Tmnp点),,(0000zyxM方程名称方程形式及特征方程名称方程形式及特征一般式0DCzByAx一般式0022221111DzCyBxADzCyBxA高等数学（一）教案期末总复习-3-点法式0)()()(000zzCyyBxxA点向式pzznyymxx000三点式1112121213131310xxyyzzxxyyzzxxyyzz参数式ptzzntyymtxx000截距式1xyzabc两点式000101010xxyyzzxxyyzz面面垂直0212121CCBBAA线线垂直0212121ppnnmm面面平行212121CCBBAA线线平行212121ppnnmm线面垂直pCnBmA线面平行0CpBnAm点面距离),,(0000zyxM0DCzByAx面面距离10AxByCzD20AxByCzD222000CBADCzByAxd12222DDdABC面面夹角线线夹角线面夹角},,{1111CBAn},,{2222CBAn},,{1111pnms},,{2222pnms},,{pnms},,{CBAn222222212121212121||cosCBACBACCBBAA222222212121212121cospnmpnmppnnmm222222sinpnmCBACpBnAm空间曲线：()()()xtytzt，，，)(t切向量))(,)(,)((000tttT切“线”方程：)()()(000000tzztyytxx法平“面”方程：0))(()()()()(000000zztyytxxt(,,)0(,,)0FxyzGxyz切向量:(,,)xyzxyzPTFFFGGGmnpijk切“线”方程：PPPxxyyzzmnp法平“面”方程：()()()0PPPmxxnyypzz空间曲面：0),,(zyxF法向量000000000((,,),(,,),(,,))xyznFxyzFxyzFxyz切平“面”方程：000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0xxxFxyzxxFxyzyyFxyzzz法“线“方程：),,(),,(),,(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx高等数学（一）教案期末总复习-4-第十章重积分重积分积分类型计算方法典型例题二重积分d,DyxfI平面薄片的质量质量=面密度面积（1）利用直角坐标系X—型Dbaxxdyyxfdxdxdyyxf)()(21),(),(Y—型dcyyDdxyxfdydxdyyxf)()(21),(),(（2）利用极坐标系使用原则(1)积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧,直线段)；(2)被积函数用极坐标变量表示较简单(含22()xy,为实数)21()()(cos,sin)(cos,sin)Dfdddfd计算步骤及注意事项1．画出积分区域2．选择坐标系标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数关于坐标变量易分离3．确定积分次序原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙4．确定积分限方法：图示法先积一条线，后扫积分域三重积分(,,)IfxyzdV(1)利用直角坐标截面法投影法投影法：21(,)(,)(,,)d(,,)xyzxyDzxyfxyzVdxdyfxyzdz截面法：(,,)d(,,)zdcDfxyzVdzfxyzdxdy（2）利用柱面坐标cossinxyzz相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标适用范围:○1积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单；如旋转体○2被积函数用柱面坐标表示时变量易分离.如22()fxy高等数学（一）教案期末总复习-5-空间立体物的质量质量=密度面积（3）利用球面坐标cossincossinsinsincosxryrzr2sindVrdrdd适用范围:○1积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如，球体，锥体.○2被积函数用球面坐标表示时变量易分离.如，222()fxyz222111(,)2(,)dd(sincos,sinsin,cos)sindrrIfrrrrr考试不作要求，考研重点掌握第十一章曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分积分类型计算方法典型例题第一类曲线积分LdsyxfI),(曲形构件的质量质量=线密度弧长参数法（转化为定积分）（1）:(),LyyxaxbdxxyxyxfIba)('1))(,(2（2）():()()xtLtyt22((),())()()Ifttttdt平面第二类曲线积分LQdyPdxI变力沿曲线所做的功（1）参数法（转化为定积分）():()()xtLtyt:ttttQtttPyQxPLd)}()](),([)()](),([{dd三维情形：():()()()xtyttzt:dtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)}()](),(),([)()](),(),([)()](),(),([{（2）利用格林公式（转化为二重积分）条件：①L封闭，分段光滑，有向（左手法则围成平面区域D）②P，Q具有一阶连续偏导数结论：dydxyPxQQdyPdxDL)(应用：助线不是封闭曲线，添加辅有瑕点，挖洞满足条件直接应用高等数学（一）教案期末总复习-6-（3）利用路径无关定理（特殊路径法）等价条件：①yPxQ②0LQdyPdx③LQdyPdx与路径无关，与起点、终点有关④QdyPdx具有原函数),(yxu（特殊路径法，偏积分法，凑微分法）（4）两类曲线积分的联系LLdsQPQdyPdxI)coscos(第一类曲面积分(,,)IfxyzdS曲面薄片的质量质量=面密度面积投影法：),(yxzz投影到xoy面22(,,)(,,(,))1xyxyDIfxyzdSfxyzxyzzdxdy类似的还有投影到yoz面和zox面的公式第二类曲面积分IPdydzQdzdxRdxdy流体流向曲面一侧的流量（1）投影法○1((,),,)yzDPdydzPxyzyzdydz：(,)xxyz，为的法向量与x轴的夹角前侧取“+”，cos0；后侧取“”，cos0○2(,(,),)zxDQdzdxQxyxzzdzdx：),(zxyy，为的法向量与y轴的夹角右侧取“+”，cos0；左侧取“”，cos0○3(,,(,))xyDRdxdyRxyzxydxdy：(,)zzxy，为的法向量与z轴的夹角上侧取“+”，cos0；下侧取“”，cos0（2）高斯公式条件：①封闭，分片光滑，是所围空间闭区域的外侧②P，Q，R具有一阶连续偏导数结论：()PQRPdydzQdzdxRdxdydVxyz应用：助面不是封闭曲面，添加辅满足条件直接应用（3）两类曲面积分之间的联系(coscoscos)PdydzQdzdxRdxdyPQRdS转换投影法：()()zzdydzdxdydzdxdxdyxy所有类型的积分：○1定义：四步法——分（任意分割）、匀（任意取点）、和（求和）、精（求极限）；○2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；高等数学（一）教案期末总复习-7-第十二章级数无穷级数常数项级数傅立叶级数幂级数一般项级数正项级数用收敛定义，nnslim存在常数项级数的基本性质常数项级数的基本性质○1若级数收敛,各项同乘同一非零常数仍收敛○2两个收敛级数的和差仍收敛注：一敛、一散之和必发散.○3去掉、加上或改变级数有限项不改变其收敛性○4若级数收敛则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。推论如果加括号后所成的级数发散则原来级数也发散注：收敛级数去括号后未必收敛.○5（必要条件）如果级数收敛则0lim0nnu莱布尼茨判别法若1nnuu且0limnnu，则11)1(nnnu收敛则级数收敛.nu和nv都是正项级数，且nnvu.若nv收敛，则nu也收敛；若nu发散，则nv也发散.比较判别法比较判别法的极限形式nu和nv都是正项级数，且lvunnnlim，则○1若l0,nu与nv同敛或同散;○2若0l,nv收敛,nu也收敛；○3如果l，nv发散，nu也发散。比值判别法根值判别法nu是正项级数，nnnuu1lim,nnnulim,则1时收敛；1()时发散；1时可能收敛也可能发散.收敛性和函数展成幂级数nnnxa0,nnnaa1lim,1,0;,0;0,.RRR缺项级数用比值审敛法求收敛半径)(xs的性质○1在收敛域I上连续;○2在收敛域),(RR内可导，且可逐项求导;○3和函数)(xs在收敛域I上可积分，且可逐项积分.(R不变,收敛域可能变化).直接展开:泰勒级数间接展开:六个常用展开式11(11)1nnxxx11()!xnnexxn22TTl10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxfdxxfa)(10nxdxxfancos)(1nxdxxfbnsin)(1收敛定理x是连续点,收