概率论与数理统计-第一章

12005HenanPolytechnicUniversity河南理工大学精品课程概率论与数理统计随机试验、样本空间和随机事件随机事件间的关系与运算随机事件的概率及其性质条件概率、全概公式与贝叶斯公式随机事件、试验的独立性第一章随机事件及其概率22005ZhangYongjin河南理工大学精品课程概率论与数理统计两类现象——在一次试验中结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又呈现出一定的规律性的现象。确定现象——在一定条件下必然发生的现象。如：在标准大气压下，水加热至100℃时沸腾；上抛一物体必然下落；同性电荷必然相斥；等等。随机现象如：抛一枚硬币可能出现正面，也可能出现反面；电话交换台在1分钟内接到的呼叫次数；测试在同一工艺下生产的灯泡的寿命；等等。高等数学，线性代数等概率论，数理统计等32005河南理工大学精品课程概率论与数理统计E1：抛一枚硬币，观察正面H和反面T出现的情况；E2：将一枚硬币连抛三次,观察正、反面出现的情况；E3：将一枚硬币连抛三次,观察正面出现的次数；E4：掷一枚骰子，观察出现的点数;随机试验举例E5：电话交换台在1分钟内接到的呼叫次数；E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命；E7：记录某地一昼夜的最高温度与最低温度。42005河南理工大学精品课程概率论与数理统计定义2随机试验E所有可能结果组成的集合称为E的样本空间(S,Ω)；样本空间的元素称为样本点(e,ω)。二、样本空间与随机事件E1：抛一枚硬币，观察正面H和反面T出现的情况S1={H，T}E2：一硬币连抛三次，观察正面、反面出现的情况S2={HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT}例如显然，样本点是由试验的目的所确定的。52005河南理工大学精品课程概率论与数理统计E3：一枚硬币连抛三次，观察正面出现的次数S3={0，1，2，3}E4：掷一枚骰子，观察出现的点数S4={1，2，3，4，5，6}E5：电话交换台在1分钟内接到的呼叫次数S5={0，1，2，3，……}E6：在一批灯炮中任意抽取一只，测试它的寿命S6={t|t≥0}E7：记录某地一昼夜的最高温度与最低温度S7={(x,y)|T最低≤x≤y≤T最高}62005河南理工大学精品课程概率论与数理统计定义3样本空间S的子集称为随机事件,简称为事件。特别的，S称为必然事件；Φ称为不可能事件；单个样本点组成的单点集{e}称为基本事件。试验E：掷一枚骰子，观察出现的点数。样本空间S={1，2，3，4，5，6}，“出现偶数点”的事件A={2，4，6}；例如“出现不小于3的点数”的事件B={3，4，5，6}；“出现大于6点”的事件为不可能事件Φ；“出现点数不超过6”的事件为必然事件S，等等。72005河南理工大学精品课程概率论与数理统计在一次试验中，事件A发生当且仅当A中的一个样本点出现；必然事件在每次试验中均发生；不可能事件在每次试验中均不发生；基本事件两两互斥，且在每次试验中有且有一个发生。说明82005河南理工大学精品课程概率论与数理统计—集合间的关系与运算意义：事件A发生必导致事件B发生。2、事件A∪B称为事件A与事件B的和事件。意义：“和事件A∪B发生”＝“事件A与事件B至少有一个发生”。三、事件间的关系与运算1、若AB，则称事件B包含事件A。∪若AB且BA，则称事件A与事件B相等，记为A=B。∪∪92005河南理工大学精品课程概率论与数理统计3、事件A∩B称为事件A与事件B的积事件。意义：“积事件A∩B发生”=“事件A与事件B同时发生”。4、事件A-B称为事件A与事件B的差事件。意义：“差事件A-B发生”＝“事件A发生，事件B不发生”。102005河南理工大学精品课程概率论与数理统计5、若A∩B=φ，则称事件A与事件B是互不相容的，或互斥。意义：“事件A与事件B互斥”=“事件A与事件B不能同时发生”6、若A∩B=φ，且A∪B=S，则称事件A与事件B互为对立事件或互逆。意义：在每次试验中，事件A与事件有且仅有一个发生。A互逆一定互斥,互斥不一定互逆.112005河南理工大学精品课程概率论与数理统计【例1】用事件A，B，C的运算关系表示下列复合事件:〖解〗CBA1、A发生，B与C均不发生;特别注意：BCCB122005河南理工大学精品课程概率论与数理统计2、A，B，C至少有一个发生；,CBA“A，B，C不会同时不发生”〖解〗ABCBCACBACABCBACBACBA,CBA对应于不同的等价说法有多种表示形式：“A，B，C至少有一个发生”互斥分解也有各种表示形式，如：CBABAA132005河南理工大学精品课程概率论与数理统计3、A，B，C都不发生；CBACBA4、A，B，C不多于两个发生。CBA“A，B，C至少有一个不发生”“A，B，C不会同时发生”ABC〖解〗“A，B，C都不发生”“‘A，B，C至少有一个发生的事件’不发生”〖解〗■142005河南理工大学精品课程概率论与数理统计【例2】射击3次，事件表示第次命中目标，则事件“至少命中一次”为：kA)3,2,1(kk321)(AAAA321)(AAASC)()()(123121AAAAAAB321321321)(AAAAAAAAAD〖解〗由事件运算律知：321321AAASAAAS321211123121)()(AAAAAAAAAAAA而仅表示“恰有一次击中目标”，故应选A,B,C。■321321321AAAAAAAAA321AAA321AAA32121AAAAA321AAA152005河南理工大学精品课程概率论与数理统计它表示“甲滞销”与“乙畅销”至少有一个发生，故应选(D).■【例3】事件A表示“甲产品畅销，乙产品滞销”，则其对立事件表示（）。（A)“乙畅销”；(B)“甲乙均畅销”；(C)“甲滞销”；(D)“甲滞销或乙畅销”。〖解〗设事件B：“甲畅销”，C：“乙畅销”，则CBA从而CBCBCBA162005河南理工大学精品课程概率论与数理统计设好事件，并用简单事件的运算关系来表达复杂事件在解概率题中是基本而重要的。特别，要弄清“恰有”、“至少”、“至多”、“都发生”、“都不发生”、不都发生”等词语的含义。有些文字表达的事件可通过设事件为字母，再利用事件的关系与运算来表达。此外，要注意同一个事件的不同表达形式，注意语言表述的准确性。注意利用文图易知：差事件可化为积事件;BABA.)(,BAABAABA和事件可互斥分解为显然，这种互斥分解不一定唯一。172005河南理工大学精品课程概率论与数理统计□本节要点提示□四个概念:随机现象,随机试验,样本空间,随机事件;四个关系:包含,相等,互斥,互逆;三个运算:和,积,差。事件运算律。182005河南理工大学精品课程概率论与数理统计§2、概率及其性质研究随机事件时，不仅希望了解哪些随机事件可能出现，而且希望知道事件出现的可能性的大小。我们用[0，1]中的一个数来表示随机事件A发生的可能性大小，并称之为该事件的概率，记为P(A)。一、古典概型定义1具有下列特点的随机试验称为古典概型(等可能概型):(ⅰ)、试验的样本点只有有限个;(ⅱ)、试验中每个基本事件发生的可能性相同.下面沿概率论的发展轨迹介绍概率概念的形成。192005河南理工大学精品课程概率论与数理统计设古典概型Ｅ的样本空间Ω含有n个样本点，事件Ａ包含k个样本点，则事件Ａ的古典概率为nkAP)(有利场合数基本事件总数在古典概率计算中，注意掌握一些如“摸球问题”“分房问题”，“随机取数问题”等典型模型中概率的计算。202005河南理工大学精品课程概率论与数理统计【例1】袋中有5只红球和6只黑球，现从中任意取出2只球，试求下列事件的概率：（1）取出的2只全为红球；（2）取出的2只球中一只为红球一只为黑球；（3）取出的2只球中至少有一只黑球。球是可辨的[如编号1-5为红球，6-11为黑球]，以保证等可能性；〖分析〗理解题意：不放回抽样；摸球模型212005河南理工大学精品课程概率论与数理统计“任意取出2只”：如认为是“依次”取出，则样本点是有序结果，计数时采用排列；如认为是“一次”同时取出2只，则样本点是无序结果，计数时采用组合。样本空间和样本点:采用不同方法时,样本空间和样本点有所不同.但计算必须在相同样本空间中进行.设好事件：A=“取出的2只全为红球”；B=“取出的2只中红球、黑球各一”；C=“取出的2只中至少有一只黑球”。〖解〗222005河南理工大学精品课程概率论与数理统计此时,样本空间是所有的两个不同球的排列，相当于两不同号码的有序数对。注意：同色（1，2）和（2，1）是不同的样本点。正确计数：.1101011211Pn方法1[依次有序取2只]样本点总数[基本事件总数]相当于“从编号分别为1-11的11张卡片中任意取2张的”不同排列种数，即样本点示例（1）A所含的样本点数相当于“从编号分别为1-5的5张卡片中任意取2张的”不同排列种数，即232005河南理工大学精品课程概率论与数理统计（2）B所含的样本点分两类：先红后黑——相当于“从编号1-5中取1个，再从编号6-11中取1个”，由乘法原理知：共有5×6个不同样本点；先黑后红——相当于“从编号中6-11取1个，再从编号1-5中取1个”，由乘法原理知：共有6×5个不同样本点；因此由加法原理知：B所含样本点总数为先红后黑样本点,204525PkA故由古典概率计算公式得：.11211020)(nkAPA先黑后红样本点,605665Bk242005河南理工大学精品课程概率论与数理统计故由古典概率计算公式得：.11611060)(nkBPB（3）C所含的样本点分两类：一红一黑[先红后黑，先黑后红]，有60个；两黑[“从编号6-11中取2个”的排列数]有6×5=30个。因此，由加法原理知：C所含样本点总数为,90565665Ck故由古典概率计算公式得：.11911090)(nkCPC252005河南理工大学精品课程概率论与数理统计此时,样本空间是所有的两个不同球的组合，相当于一次取两不同号码的不同组合。注意：同色（1，2）和（2，1）是同一个样本点。方法2[一次无序取2只]样本点示例.55121011211Cn样本点总数相当于“从编号分别为1-11的11张卡片中任意取2张的”不同组合种数，即（1）A所含的样本点数相当于“从编号分别为1-5的5张卡片中任意取2张的”不同排列种数，即262005河南理工大学精品课程概率论与数理统计,10124525CkA故由古典概率计算公式得：.1125510)(nkAPA（2）B所含的样本点数相当于“从编号1-5中取1个，再从编号6-11中取1个”的不同组合数，因此，由乘法原理知：B所含样本点总数为,30651615CCkB故由古典概率计算公式得：.1165530)(nkBPB272005河南理工大学精品课程概率论与数理统计■,45125665261615CCCkC故由古典概率计算公式得：.1195545)(nkCPC（3）C所含的样本点分两类：一红一黑[]，两黑[“从编号6-11中取2个”组合数]。因此，由加法原理知：C所含样本点总数为1615CC282005河南理工大学精品课程概率论与数理统计从N件产品中任取n件,每种不同取法就是一个样本点，样本点总数[基本事件总数]相当于是“从N个相异元素中取n个元素”的组合数，即为【例2】设有N件产品,其中D件为次品.现从中作不放回抽样任取n件,求其中恰有k(k≤D)件次品的概率.〖解〗N件产品是可辨的。“不放回任取n件”相当于“一次同时取n件”，因而，试验结果是无序的。.~nNCn设事件A=“任取n件中恰有k件次品”，则其所含样本点总数相当于“从D件次品中取k件,再从N-D件正品中取292005河南理工大学精