当前位置:首页 > 商业/管理/HR > 信息化管理 > 概率论与数理统计教程第四版课后答案第三章
1一、一维随机变量的数学期望定义1设X是一离散型随机变量,其分布列为:则随机变量X的数学期望为:X1x)(1xp2x)(ixpix)(2xpPiiixpxXEiiixpxXEdxxxfXEdxxxfXE,xf设X是一连续型随机变量,其分布密度为则随机变量X的数学期望为定义2第三章随机变量的数字特征小结2随机变量X及Y的数学期望分别定义如下:假定级数是绝对收敛的.(1)设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为p(xi,yj),则,,ijjiiyxpxXE.,jijijyxpyYE,iiXixpxXE.jjYjypyYE(2)设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y),则随机变量X及Y的数学期望分别定义如下:假定积分绝对收敛.,,dxdyyxxfXE.,dxdyyxyfYE,dxxxfXEX.dyyyfYEY二、二维随机变量的数学期望3iiixpxgXEgEY则定义随机变量函数的数学期望为:XgYX1x)(1xp2xnx)(ixXP)(nxp)(2xp(1)设离散型随机变量X的概率分布为:三、一维随机变量函数的数学期望dxxfxgXEgEY机变量函数的数学期望为:XgY则定义随(2)若X为连续型随机变量,,xf其概率密度为4(1)设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为p(xi,yj),则随机变量函数g(X,Y)的数学期望如下:,,,,ijjijiyxpyxgYXgE假定这个级数是绝对收敛的.(2)设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y),则随机变量g(X,Y)的数学期望如下:,,,,dxdyyxfyxgYXgE假定这个积分是绝对收敛的.四、二维随机变量的函数的数学期望5五、关于数学期望的定理定理1bEXabXaEaEaEXaXaEbEXbXE推论(1)(2)(3)定理2推论.11niiniiEXXEYEXEYXE定理3若X、Y独立,则有:推论.11niiniiEXXE相互独立,则若nXXX,,,21YEXEXYE6X的标准差:2EXXEDXDXX定义X的方差:若X为离散型随机变量,则有12)(iiixpEXxXD若X为连续型随机变量,则有dxxfEXxXD)(2.,2jiijjyxpEYy,,2jiijiyxpEXxjjYiypEYy2XDiXiixpEXx2YD二维随机变量的方差离散型随机变量,,YX六、方差与标准差7,,2dxdyyxfEXx.,2dxdyyxfEYydyyfEYyDYY2dxxfEXxDXX2连续型随机变量,,YX22)(EXEXDX方差的计算公式:;0Db;DXbXD.)(2DXaaXDDXabaXD2定理1推论:有关方差的定理:8,pEXpqDX,npEXnpqDX,EXDX2pqDX,1pEX12)(2abDX,2baEX,1EX21DX二项分布:0-1分布:几何分布:均匀分布:指数分布:Poisson分布定理2:DYDXYXD若X与Y独立,推论:niiniiXDXD11若nXXX,,,21相互独立,七、某些常用分布的数学期望及方差9对于离散随机变量:iikikxpxX)()(对于连续随机变量:dxxfxXkk)()(对于离散随机变量:对于连续随机变量:iikikxpXExX)()]([)(dxxfXExXkk)()()(kkXEXEX1随机变量X的k阶原点矩:定义1其中k为正整数。特别的,kkXEXEX定义2:X的k阶中心矩:;01DX2特别的,八、原点矩与中心矩10)]}.()][({[),cov(YEYXEXEYX1、X与Y的协方差(或相关矩):定义.,,covdxdyyxfEYyEXxYX⑴离散型随机变量:⑵连续型随机变量:注.,,covijjijiyxpEYyEXxYX九、协方差与相关系数注设X与Y是任两个随机变量,),cov(2)()()(YXYDXDYXD定理1)()()(),cov(YEXEXYEYX定理2若X与Y独立,则:.0,covYX逆命题不成立。112、X与Y的相关系数),(cov),(YXYXR)()(),(cov),(YDXDYXYXR定义定理31,YXR,bXaY且.0,1;0,1),(bbYXR定理41),(YXR定理5如果X与Y独立,则,0),(YXR反之不成立。即:X与Y相互独立X与Y不相关12十、切比雪夫不等式与大数定律1、切比雪夫不等式2)()(XDXEXP2、切比雪夫大数定律1)(11lim11niiniinXEnXnP独立且方差一致有上界3、辛钦大数定律11lim1niinXnP独立同分布4、伯努利大数定律在独立试验序列中,事件A的频率按概率收敛于事件A的概率.1)(limpAfPnn133.2一批零件中有9个合格品与3个废品。安装机器时从中任取1个。如果每次取出的废品不再放回去,求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望、方差和标准差。解第三章答案设在取得合格品以前已取出的废品数为XX)(ixP1043449220132220922013220924491430)(XE3.022013220924491430)(22222XE409.0)()()(22XEXEXD319.0)(XDX565.0143.3对一目标射击,直至击中为止。如果每次射击命中率为p,求射击次数的数学期望和方差。解设随机变量X表示射击次数,则X服从几何分布。2,1)1()(1mppmXPm)(XE11nnnpq11nnnqp211qp2111pp.1,11211xxnxnnp1)(2XE112nnpqn112nnqnp.1,113112xxxxnnn311qqp.22pp)(XD22)()(XEXE2212ppp.12pp153.4对某工厂的每批产品进行放回抽样检查。如果发现次品,则立即停止检查而认为这批产品不合格;若连续检查5个产品都是合格,则也停止检查而认为这批产品合格。设这批产品的次品率为p,求每批产品抽查样品的平均数。设随机变量X表示每批产品抽查的样品数,则:)4,3,2,1()(1mpqmXPm∴X的概率分布表如下:)1(qp454)5(qqpqXPX)(mXP4q521ppq432pq3pq4324325101055432)(ppppqpqpqpqpXE解16解011)(112dxxxXE)()()()(222XEXEXEXD112211dxxx令tdtdxtxcos,sin3.6设随机变量X的概率密度为:求数学期望E(X)与方差D(X)。1,01,112xxxxf212212102212dxxx2022cossin1sin2)(dttttXD202)(sin2dtt2022cos12dtt20)22sin(212tt17解021)(dxexXExdxexXDx21)(202212dxexx3.7随机变量X的概率密度为:,,21)(xexfx求数学期望E(X)与方差D(X)。)()()()(222XEXEXEXD02dxexx2)3(182.22,3.8解(1)dxxf01dxeAxx01xdexAxA,1.A当,1.A.0,0;0,1xxeAxxfx.0,0;0,xxexfx.~eX(2)设随机变量X的概率密度为求系数A时,是什么分布?1(2)(3)求数学期望和方差(1)(3)dxxxfXE)(01dxexxx0111xdexx1.19(3).dxxfxXE22)(012dxexxx01221xdexx2221)(XD22)()(XEXE2221.2dxxxfXE)(203.9设随机变量X的概率密度为:)0(0,00,222axxeAxxfax求系数A及E(X)与D(X)。解dxxf)(dttaetaAttax2102222)(2233aA1421233aAaA34aAdxexaXEax033224)(dxeAxax0222dtetaAt02132dtteat02aa2)2(2dttaetaattax2102333242221dxexaXEax0432224)(232123222aa)()()(22XEXEXD423423222aaadtetat023222522a223.12设随机变量X服从二项分布B(3,0.4),求下列随机变量的数学期望与方差:2)3()3();2()2(;)1(3221XXYXXYXY.3,2,1,06.04.0)(33mCmXPmmm解X)(mXP216.00321432.0288.0064.072.0)(XD2.1)(XE16.22.172.0)()()()()1(2221XEXDXEYE)()(421XEYE224.10064.03288.02432.014445584.516.2224.10)()()(212211YEYEYD24.02.1216.2)(2)()2()()2(222XEXEXXEYE008.1064.09432.01])2([)(2222XXEYE9504.0)24.0(008.1)()()(222222YEYEYD2372.016.2212.123)(21)(23223)()3(223XEXEXXEYE72.0)288.04432.04(41])3([41)(2223XXE
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