选修2-3--超几何分布

1．要了解两种常见的概率分布：两点分布和超几何分布．2．能通过实例，理解超几何分布及其推导过程．3．要会用超几何分布解决一些实际问题．1．理解超几何分布及其推导过程．(重点)2．能用超几何分布解决一些简单的实际问题．(重点、难点)§2超几何分布【课标要求】【核心扫描】自学导引1．超几何分布一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN(其中k为非负整数)．如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布超几何分布的应用较两点分布广．在形式上适合超几何分布的模型常由，如“男生、女生”；“正品、次品”；“优、劣”等．2．超几何分布的特点较明显的两部分组成想一想：如何通过实例说明超几何分布及其推导过程？提示构造以下数学模型：一个箱子内有N个小球，其中有红球M个，从箱中所有小球中任取n(n≤M)个，这n个小球中所含红球的个数X是一个随机变量．事件{X＝k}的概率P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN(0≤k≤l，l为M，n中较小的一个)，则随机变量X的分布即为超几何分布，推导如下：由于取到小球的概率都是相等的，因此属于古典概型，故取n个小球的方法共有CnN种，其中含有k个红球的取法有CkMCn－kN－M种，于是取得k个红球的概率为CkMCn－kN－MCnN，令取到红球的个数X＝k，即可得超几何分布列．(1)在确定为超几何分布类型的条件下，只要知道N、M和n，就可以根据公式求出X取不同k值时的概率P(X＝k)，从而列出X的分布列．(2)超几何分布列给出了求解这类问题的方法，即可以通过公式直接求解，但不能机械地去记忆公式，要在理解的前提下记忆．(3)凡类似于“在含有次品中的产品中取部分产品，问所取出的产品中次品件数”的问题，都属于超几何分布的模型．名师点睛1．对超几何分布的理解(1)验证随机变量服从超几何分布列，并确定参数N，M，n；(2)确定X的所有可能取值；(3)计算P(X＝k)；(4)写出分布列(用表格或式子表示).2．求超几何分布列的步骤设10件产品中，有3件次品，7件正品，现从中抽取5件，求抽得次品件数X的分布列．题中的X服从超几何分布．确定参数N，M，n后由公式求概率即可．题型一求超几何分布列【例1】[思路探索]解由题意知，X服从参数为N＝10，M＝3，n＝5的超几何分布．其中X的所有可能取值为0,1,2,3，分布列为P(X＝k)＝Ck3C5－k7C510(k＝0,1,2,3)．∴P(X＝0)＝C03C57C510＝21252＝112，P(X＝1)＝C13C47C510＝105252＝512，P(X＝2)＝C23C37C510＝105252＝512，P(X＝3)＝C33C27C510＝21252＝112.∴X的分布列为X0123P112512512112解答此类题目的关键在于先分析随机变量是否满足超几何分布，如果满足超几何分布的条件，则直接利用超几何分布概率公式来解．当然，本例也可通过古典概型解决，但利用超几何分布概率公式简化了对每一种情况的具体分析，因此要简单一些．规律方法现有10张奖券，其中8张1元，2张5元，从中同时任取3张，求所得金额的分布列．【训练1】解设所得金额为X，X的可能取值为3,7,11.P(X＝3)＝C38C310＝715，P(X＝7)＝C28C12C310＝715，P(X＝11)＝C18·C22C310＝115.故X的分布列为X3711P715715115在一个口袋中有30个球，其中红球10个，其余为白球，这些球除颜色不同外完全相同．游戏者一次从中摸出5个球，摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率有多大？题型二利用超几何分布模型求相应事件的概率【例2】[思路探索]法一由于摸到红球、白球是等可能的，因此可利用古典概型来解．法二设摸到红球个数为X，则X服从参数为N＝30，M＝10，n＝5的超几何分布，且P(X＝k)＝Ck10C5－k20C530(k＝0,1,2,3,4,5)，由公式可求概率．解法一设“中一等奖”为事件A，则P(A)＝C410C120C530≈0.029.即获一等奖的概率约为0.029.法二设X为摸到红球的个数，则X服从参数为N＝30，M＝10，n＝5的超几何分布．由题意知，X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5，则X的分布列为P(X＝k)＝Ck10C5－k20C530(k＝0,1,2,3,4,5)．∴P(X＝4)＝C410C120C530≈0.029.即获一等奖的概率约为0.029.规律方法学习超几何分布，要与古典概型和组合知识结合起来．在古典概型中，基本事件总数为n，事件A包含的基本事件个数为m，则P(A)＝mn，它与超几何分布列中的P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN是一致的．在一些复杂的问题中求概率时，就会体现出直接用公式的方便了．袋中有7个球，其中3个黑球、4个红球，从袋中任取3个球，求取出的红球数X的分布列．并求至少有一个红球的概率．【训练2】解X＝0,1,2,3，X＝0表示取出的三个球全是黑球，P(X＝0)＝C33C37＝135.同理P(X＝1)＝C14C23C37＝1235，P(X＝2)＝C24C13C37＝1835，P(X＝3)＝C34C37＝435.∴X的分布列为：X0123P13512351835435至少有一个红球的概率为P(X≥1)＝1－135＝3435题型三超几何分布的综合问题【例3】(12分)现有来自甲、乙两班的学生共7名，从中任选2名是甲班的概率为17.(1)求7名学生中甲班的学生数；(2)设所选2名学生中甲班的学生数为X，求X的分布列，并求甲班学生数不少于1人的概率．(1)设出甲班学生数，由古典概型列出等式，解方程求解即可．(2)分析条件知，随机变量X满足超几何分布的条件，结合超几何分布概率公式求出X取值的概率，列出表格，然后根据分布列求概率．审题指导【解题流程】[规范解答](1)设甲班的学生数为n，由题意得，17＝C2nC27＝nn－127×62＝nn－17×6，(2分)整理得n2－n－6＝0，解得n＝3或n＝－2(舍去)．即7个学生中，有甲班3人．(4分)(2)由题意知X服从参数N＝7，M＝3，n＝2的超几何分布，其中X的所有可能取值为0,1,2.P(X＝k)＝Ck3C2－k4C27(k＝0,1,2)．∴P(X＝0)＝C03C24C27＝621＝27，(6分)P(X＝1)＝C13C14C27＝1221＝47，P(X＝2)＝C23C04C27＝321＝17.(8分)∴X的分布列为X012P274717(10分)由分布列知P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝47＋17＝57.即所选两人中甲班学生数不少于1人的概率为57.(12分)解决本题时应注意以下几点：(1)通过古典概型概率公式列出方程求出甲班学生数是整个题目的关键点，体现了方程思想与概率知识的结合；(2)分析题意，得出X服从超几何分布是第二问的切入点，比利用古典概型求解要简单一些；(3)概率知识与其他知识的结合在各地模拟题及高考题中已有出现，这将成为一个热点．【题后反思】袋中装有4个白棋子、3个黑棋子，从袋中随机地取棋子，设取到一个白棋子得2分，取到一个黑棋子得1分，从袋中任取4个棋子．(1)求得分X的分布列；(2)求得分大于6的概率．【训练3】解(1)袋中共7个棋子，以取到白棋子为标准，则取到白棋子的个数为1,2,3,4，对应的得分X为5,6,7,8.由题意知，取到的白棋子数服从参数为N＝7，M＝4，n＝4的超几何分布，故得分也服从该超几何分布．P(X＝5)＝C14C33C47＝435，P(X＝6)＝C24C23C47＝1835，P(X＝7)＝C34C13C47＝1235，P(X＝8)＝C44C47＝135.∴X的分布列为X5678P43518351235135(2)根据X的分布列，可得到得分大于6的概率为P(X6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝1235＋135＝1335.盒中装有一打(12个)乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个来用，用完后放回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，求X的分布列．误区警示对超几何分布的理解有误而致错【示例】[错解]X的可能取值为0,1,2,3，且X服从超几何分布，其中M＝3，N＝12，n＝3，则P(X＝k)＝C3－k3C3－3－k12－3C312＝C3－k3·Ck9C312(k＝0,1,2,3)．新球用后就变成了旧球，此时盒子内旧球数不服从超几何分布．[正解]由题意，盒中共有12个球，9个新球，3个旧球，任取3个用后放回盒中，盒中此时旧球的个数X的可能取值为3,4,5,6.P(X＝3)＝C33C312＝1220，P(X＝4)＝C19·C23C312＝27220，P(X＝5)＝C29·C13C312＝108220，P(X＝6)＝C39C312＝84220.所以X的分布列如下表：X3456P12202722010822084220(1)在产品抽样检验中，如果采用的是不放回抽样，则抽到的次品数服从超几何分布．(2)如果随机变量X服从超几何分布，只要代入公式即可求得相应概率，关键是明确随机变量X的所有取值．(3)当超几何分布用表格表示较繁杂时，可用解析式法表示.