兰州大学固体物理第5章-声子(2)

第五章声子Ⅱ(热学性质)§1.点阵热容不同频率的谐振子系统对热能的贡献应是所有各模式对热能的贡献之和：KsssKKnU.)()(式中是简正模式的波矢，表示色散关系的第支，是某模式上的声子数：＝通常情况下要把热能计算式中对的求和用对频率的积分来计算，为了进行这样的变换，引入简正模式密度的概念。ss)(Kns)(Kns11)(TkKbseKK1.简正模式密度定义:在频率附近单位频率间隔中的简正模式数。用表示。（有时也用单位体积、单位频率间隔中的简正模式数）表示在频率范围内的简正模式数，模式密度又称为声子的态密度（或能级密度），引入简正模式密度后，则热能可表示为：)(D)(DddssssTnDdU)()(（1）一维模式密度的计算根据模式密度的定义，对于色散关系的一支来说，×（一维波矢空间单位体积的模式数），表示在单位频率间隔中的波矢改变。在频率的范围内的模式数为模式密度：ddKD)(ddKddD)(LdKdLddKD1)(又∵∴为群速度若=0，则模式密度发散，出现一个奇点，这个奇点叫做一维模式密度的VanHove奇点，在奇点，晶体的热学性质要出现反常。gvdKdgvLD)(gvgv(2)三维模式密度在三维晶体中，晶体的尺寸为边长为L的正方体，波矢的取值为：、、=0、、、……（ｎ为整数）边界条件允许的值均匀地分布在波矢空间边长为的小立方体的顶点上，每个波矢占的体积为，单位体积中的值为。xKyKzKL2L4nL2KL232L32L〈1〉德拜模型所谓德拜模型是假定在晶体的波矢空间存在着连续介质弹性波的色散关系，这相当于长波极限下声学支格波的色散关系，的色散关系是线性的，德拜模型正是由这样一个简单的线性色散关系去替代复杂的色散关系。KvgK一般情况下，先画出某支色散关系的等能面来，声子的能量为能量相同就意味着相同，即常数，在波矢空间中相等的点组成的面称为等能面，在德拜模型中，所有相等的点在波矢空间中为一波矢为半径的球面。)(Ks＝vKK在球内的模式数应为：球的体积×波矢空间单位体积的模式数=∴则模式密度—单位频率间隔中的模式数为:'23433NLKvK3233336342'vVvLN322')(vVddND由于对一个有三种偏离振态（三个声学支），则有：对于纵波：对于横波：（两支横波可简并）3222)(LLvVD3222)(TTvVD∴总的模式密度：当三种模式都可简并时:3322212)()()(TLTLvvVDDD32223)(vVD函数图形如下，是一个抛物线性函数：)(D按连续介质中弹性波的理论，频率是不受任何限制的，可从0变到∞，则总的模式数：→∞发散。这个结果表明，总的模式数有无限多，而与晶体中的模式数与总自由度相同的结果相矛盾。0)(dD为了解决这个矛盾，德拜认为不是所有的频率的模式都存在，而存在着一个频率上限，称为德拜截止频率，超过的振动模式是不存在的，而频率小于的模式可用连续介质中的弹性波处理，由总的3N个声子模式自由度决定：（为初基晶胞数）则DDDDDNdD03)(DNdvV0322323VNvD3236与德拜截止频率相对应的波矢定义为德拜截止波矢:是晶体中格波的最大波矢，以为半径在波矢空间画一个球，称为德拜球，球内应包含所有的简正模式，即3N个模式，球外的短波振动在晶体中是不存在的，而球内的所有模式可用连续介质中的弹性波来处理，球内的模式数应为晶体中所有的模式数，即3N个。vKDD3126VNKDDKDK如对一个三维点阵常数为的立方点阵，第1BZ为一边长为的立方体，第1BZ中有个（为晶体中的初基晶胞数），按德拜模型（即对晶体使用连续介质中的弹性波的色散关系），值只能在德拜球中取值，但第1BZ中的声子模式数也是3N个，因此德拜模型实际上用一个球代替了第1BZ，也就是说本应在第1BZ中取的值，而现在是在德拜球内取值，显然，德拜球的体积应等于第1BZ的体积，根据此模型，模式密度～关系应为：aa2NNKKK)(DDDvVD＞023)(322(2)爱因斯坦模型所谓爱因斯坦模型是假定所有的简正模式都具有相同的频率，色散关系曲线是一条水平线，频率不是波矢的函数，这实际上是长光学支模式（）上式的系数由整个振动模式决定，若三个光学支都用爱因斯坦模型，则：E)()(END)(3)(END（3）模式密度的一般表达式若已知一个频率为的声子的等能面，当频率改变一个小量→时，要求出在频率间隔中有多少模式，即求出模式密度。薄壳中的模式数为ddKdLdD332)(为计算薄壳的体积，我们在频率为的声子的等能面上选一个小面积元，则薄壳的体积为（为频率为的等能面与的等能面之间的垂直距离）。而与频率梯度之间有：∴dsdKdsdKdsKddKds薄壳3dKddKKgKvdddK（三维时，一维时）将代入上面的积分表达式中有：利用上式只要知道色散关系及声子等能面的形状就可求出模式密度，但是在一般情况下利用上式计算模式密度是非常困难的，上式只不过是一个理论公式而已。gKvgvdKdgvddKsgdvdsLdD32)(上面的计算只考虑了色散关系的一支，求出了模式密度，若有支色散关系，则：若在某些点（或某些频率上）出现的情况，可能不会是发散的，但它的一阶导数是发散的，此时将出现奇点，称为VanHove奇点。sssgsssvdSVDD38)()(0gv)(D)(D2．点阵热容由热能对温度在体积一定时求偏微商，可得定容热容ssssTnDdU)()(11)(TksBseTnVVTuC1爱因斯坦固体的热容，即所有的模式有相同的振动频率[]则爱因斯坦固体的热能为：E)(3)(ENDNdD3)(snNU3代表温度时平均一个模式上的声子数：∴nT11EenTkB13EeNUE2213EEeeNkTuCEBVV当温度较高时：即»或»，爱因斯坦热容，这就是点阵热容的经典值（杜隆——珀替定律）。当温度较低时，，按指数规律急剧下降，但实际上固体的热容是按规律下降，而不是指数下降，这个模型与实验结果出入较大，主要是模型过于简化，即认为所有简正模式具有相同的频率，低温下一起冻结，温度升高时同时激发，因此导致热容在低温时急剧下降。TkBETBEkBVNkC3~EeCV~3T2德拜固体的热容模式密度：则点阵热能为:DDvVD023)(32sssTnDduD).()(0DevVdu0322123引入称为德拜温度，由德拜截止频率定义，则点阵热能为：31326VNvDxTxDD3126VNkvkBBDDxxBdxexvTVku033324123把德拜温度的表达式代入得：DxxBdxexTTNku03319DDxxxBBVVdxeexTNkeedTkvVTuC00243242322)1(9123德拜温度是表示固体热学性质主要参数，一般在实验上不是知道求，而是测出求若此模型正确的话，不应是温度的函数，但实际上由于德拜模型是近似模型，就是温度的函数。VCVCNa=158KSi=625KPb=88K金刚石=2230K是由D定义，一般为102数量级。对于一种固体，由于，若大，小，则就大。大，就大，则就高。对于金刚石，很大，很小，∴高。BDkVNvD323611310~sDYvYvvDY当温度»时，则«1，积分→此时德拜热容：这时声子的量子统计可用经典统计去代替。TxDxxxdxeex024)1(331TBBVNkTTNkC3319~33若温度降低，当时，高的模式要冻结，而低的模式还处于激发状态，因此德拜温度实际上是所有模式都处于激发状态转到某些模式被冻结的温度。点阵热能和热容的表达式为：TDxxBdxexTTNku03319DxxxBVdxeexTNkC0243)1(9在低温情况下，即«时，则»1，积分（利用了公式）。用分部积分法：则低温下的热能为：低温下的热容：TxTxDDxxdxex031013ssxdxex111ssxxee0114431516sssxSedxx34453TNkuB3334234512ATTNkTNkCBBV低温下热容与温度的三次方成正比，这与实验结果相当一致，主要原因是它的基本假设是长声学波模型，在低温下只有频率较低的长波模式才是受热激发的，而频率高的短波模式都已冻结，在这些模式上布居的声子数很少，用线性色散关系去处理问题，恰好与实验结果吻合的好，任何晶体在低温下都可用德拜模型处理。下面用一个简单的物理模型说明规律的由来：在波矢空间中以德拜波矢为半径画一个球当«,在德拜球内受激发的模式有即声子能量小于的才受激发，若当热能与声子能量相等时的声子波矢为，在波矢空间以为半径画一个球，此球内的模式是受激发的模式，在温度下能受激发的模式份数等于两球体积之比，这个比值实际上就是∵∴TTkBTkBTKvTkKBTTKT3DTKK3TvTkKBTvkKBD33TKTkDB在低温下，能受激发的模式数为每个模式对热能的贡献都是（属于经典激发），总的热能，那么低温热容为：T33TNTkB33TNTkB33~12TTNkTuCBVV从以上讲述中我们不难看到，固体物理中处理的是有大量粒子存在且粒子之间有强相互作用的体系，不可能精确求解，通常用一些简单的物理模型处理问题，简单模型包含了复杂问题的关键所在。因此在处理物理问题时要注意物理模型的选取，从这个意义上来说，固体物理的发展史也可以说是物理模型的演变史。§2.非简谐晶体相互作用简谐近似是把原子之间的互作用势在平衡位置附近按泰勒级数展开：只取到平方项，则在这个近似下，格波都是独立的，简正模式间无互作用。33322200003121)()(xxxxuxuxuxuxu！！cxuF022xxuc若考虑展开式的高次项，得到的模式不再是相互独立的，此时也不能再定义独立的声子了，如果非简谐项相对于简谐项是一些比较小的量，此时可近似认为格波是独立的，但还要考虑格波间的相互作用，即可把高次项作为微扰来考虑，此时的声子气体就不再是理想气体若原子间的相互作用势是严格的简谐势，则声子间无相互作用，没有能量交换，若果真如此的话，那么一个晶体就不可能进入热平衡状态，由外界干扰而激发产生的声子数不会变化。但实际上声子很快要进入热平衡分布，因此外界干扰而激发的声子很快要消失掉，正是由于有非简谐作用的存在才可能有热膨胀和