兰州大学固体物理第4章-声子(1)

第四章（声子Ⅰ）点阵振动§1.一维原子链的点阵振动1.简谐近似这一章我们要考虑原子在平衡位置附近的振动。这种考虑是建立在简谐近似的基础之上的，所谓简谐近似即认为振动是小振动，振幅很小，这种振动的位移与力之间是满足线性关系的。F=-cx从能量的角度来看，认为原子间有了相对位移后，两原子间的相互作用势也有了变化将势能展开成级数：022222021xxxxucxxuxxuuuOO）（）（）（2.一维单原子点阵的运动方程和色散关系一维单原子点阵在每个阵点上只有一个原子，第s个原子相对于它平衡时的位移是Us。第ｓ个原子所受到的来自第s+p个原子的作用力与它的对位移成正比pssuu第s个原子所受到的力等于所有原子作用力的总和：当s取不同值时，上述方程为一方程组代表各个原子的位移和运动。）（pssppsuucF).......3.2.1..NsuucuMspspps（）（原子在平衡位置附近的小振动可看作是耦合的简谐振子的运动。这种耦合谐振子可以通过正则变换化成一组独立的无相互耦合的简谐振动的运动。经过这样变换的每一个独立的谐振子代表简正模式，点阵振动的简正模式是指有一定频率、一定波矢的平面波，第s个原子的位移按简正模式解可写成：）（）（skatiseuu0这也就是频率为ω,波矢为k的平面波对第s个原子位移的贡献。这个平面波称之为格波，把寻求到的运动方程的解带入运动方程就能找出ω与k的关系即所谓色散关系。将带入运动方程得：（其中u=u）约去两边相同的因子得：代表第s+p个原子的位移的位相差。ikakatisueeuu)()0(tie）（0ueeCueMiskakapsippiska].[2）（）（12ipkappecMipkae由于点阵有平移对称性（+p原子与-p原子的力常数相等）。Cp=C-p则=-利用欧拉合成化简可得：这就是一维单原子晶考虑了所有原子的作用后得到的格波的频率与波矢所满足的关系。]11[002）（）（ipkappipkappeCeCM）（20ipkaipkappeeC）（pkacmppcos1202通常只考虑最近邻原子的作用（最近邻近似）：则色散关系变为：或101PPCcP）（＝２kaMccos12｜　kaMc21sin|4此函数关系在第一布里渊区的图如下：简正模式的色散关系是点阵平移矢量的周期函数，（n为整数），可以证明将色散关系中的k换成后，ω是不变的。sin[平移后色散关系不变。色散关系是点阵平移矢量的周期函数，它主要是由于我们研究的对象是分立的周期结构所引起的。当把k换成-k时色散关系也不变。即K与-k对应的频率完全一样（称之为色散关系的反演对称性）ω（k）=ω（-k）.GnaG2nak2|21sin||21sin|]221kankanak）（）（3.周期性边界条件我们前面研究的对象是理想晶体,边界上与内部的原子是一样的,既理想晶体不考虑晶体边界,没有边界效应。长为L的一维原子链,要作为理想晶体来对待,就要用到周期性边界条件(即循环边界条件或玻恩一卡曼边界条件).所谓周期性边界条件是把实际晶体看作是无限的,要求运动方程的解以晶体的长度L=Na为周期,既要求:这个边界条件的意思是相当于将晶体的首位相接构成一个园环,第0个原子与第N个原子重合。11nnnssuuuuuu，。即因此此边界条件又称为循环边界条件，经过这样处理，边界上原子与晶体内部原子的状态一样，即可把实际晶体当作理想晶体看待。但是，在周期性边界条件下，格波的波矢只能取一系列分立值。k=0，k=为整数）（，nnLkLL242）（）（tskaiseuu0iNkatskaiNseeuu.0）（）（1222ninaLiNinkaeeenL。，则混淆量一定不要与倒易点阵矢naGnL22由此可从k求出ω，由于k值是无限的，相应的应有无穷多简正模式，但实际上在这些简正模式中只有一部分是独立的。即k取边界条件允许的值时，有些格波将对应相同的频率和位移，因此它们是同一个简正模式。2.1.0.2|21sin|4nnLkkaMc4．第一布里渊区简正模式的色散关系有一个重要的性质：一维时则当把k换成时对应的频率完全一样，不仅频率相等，而且与这两个波矢相应的原子的位移情况也一样，进一步说这两个简正模式是同一个简正模式，是代表同一个格波。）（）（KGk为整数）（nnaG2）（）（nakk2当=因为则当波矢k平移倒易点阵矢量后所给出的简正模式是同一个模式，频率及每个原子的位移都是相同的，这两个格波是同一个格波。）（）（skatiseuu0时Gkk]2?2[0nakstnakieuu（）（）（nisskatkieeu2][.0）（）（1)()()0(2)(nisskatieGkkeu如上图.∴k与k‘是同一列格波,是同一个简正模式aka525akkaka2`512`65``，，在满足周期性边界条件下，凡是波矢相差一个倒易点阵矢量的简正模式是同一个简正模式，这样我们就可把格波的波矢ｋ限制在第一布里渊区之中，第一布里渊区以外的k总可以平移一个后用第一布里渊区中的k来等价描述，第一布里渊区以外k只不过是第一布里渊区中的ｋ的重复和再现而已。GG在第一布里渊区中有多少k值呢？第一布里渊区中的k值数目实际上就是晶体中初基晶胞的数目，长为L的一维原子链中的独立的简正模式数等于晶体中的原子数。NaNaaLLa22每一个简正模式代表一个一定频率与波矢的平面波，那么运动方程就有N个独立的简正模式解，但这些解都不代表原子的真实位移。在点阵振动中，我们不研究原子的真实位移，因为这是毫无实际意义的。它对晶体的物理性质（如热学性质等）并没有什么贡献，而有贡献的只是存在有那些简正模式。5.群速若晶体中有一个扰动，有一个原子偏离了平衡位置。由于原子间有相互作用，则这个扰动可以看作是基本格波组成的波包的运动，波包的运动速度是格波的群速，。它是有一系列格波叠加起来的波包的运动，波包中心所对应的速度为群速度，它是介质中能量传输的速度。dkdvg我们将色散关系：对k微商可得：可以将此关系作图如下：）（BZnLkkaMc12|21sin|4kaMcadkdvg21cos212）（在布里渊区边界上时，0.gvak在布里渊区边界上满足Laue或Bragg条件，要发生衍射现象，这不仅限于对x-raｙ，而任何波只要满足Laue或Bragg条件都会发生衍射，格波也不例外，在一维情况下的Bragg反射条件：ndsin22adaanannaak2222则时（n只能等于1，而不可能大于1，∵当n1时λ2a是没有任何实际意义的）。满足Bragg反射条件，而反射波与λ射波是两个相反方向的同频，同波矢的波的叠加。相当与λa(故称为长波极限).色散关系:＝(因为ka1则sin时0k|21sin|4kaMc||2kMca）kaka21~21它表明当格波的波长比点阵常数大的多时,可以把格波当作连续介质中的弹性波处理。也就是说可以把晶体看作连续介质，当λ》a时，点阵的分立性就显示不出来，传播时感觉不到分立性，若波长缩短，分立结构的特性对格波的影响就逐渐显露出来，色散关系的线性关系就要改变，当λ=2a时，k=，正处在布里渊区边界，发生了Brａgg反射。a§2.一维双原子点阵的点阵振动考虑一个初级晶胞有两个原子的情况1.运动方程和色散关系一个初基晶胞中两个原子的质量不同，但为了处理问题方便起见，认为原子间的力常数是一样的，在简谐近似下，用最近邻近似，认为各原子之间是用同样的弹簧联系起来的。若只考虑最近邻近似，第ｓ个晶胞中质量为M1的原子所受的力为：其运动方程为同理可写出第s个晶胞中质量为M2的原子的运动方程为：）（）（1ssssvucvuc][1）（）（＝Ｍ２２ｄｔｕｄ１ssssvuvuc）＝Ｃsssuvu21]1）（）＝ｃＭ２２ｄｔｄ２ssssvuvuv）＝ｃsssvuu21u，v可以是复数，第ｓ个晶胞中质量为的原子的ω与k相同，但振幅不同，由于u，v是复数，故u，v可以有一个相因子之差，表示它们之间的相位关系。)(,skatisskatisvevueu）（21MM，我们将代回运动方程得：这是以u，v为未知数的方程组，要有非零解须系数行列式为零。便可得到：cvecuvMcuecvuMikaika21212212）（）（展开此行列式可得：即上式中取“＋”号时，有较高频率称为光学支色散关系，取“－”号时，有较低频率称为声学支色散关系。0cos1222221421）（）（kacMMcMM]cos2[21222121212kaMMMMMMMMc把色散关系作图得：2.光学支和声学支格波为了讨论比较典型,我们处理长波极限下的情况。当ka《1（即波长比点阵常数大得多的光学支与声学支）coska≈，带入色散关系中：取“＋”号时，≈取“－”号时：≈2211）（ka）（）（22210112akMMc2222212akMMc）（由u.v的方程组,我们知道:当ka1时:对“＋”号的一支:[这是k～0时,将带入u，v方程组中得到的]2121MMcecvuika）（12MMvu）（212112MMc它表明同一个初基晶胞中的两个原子每时每刻的振动位相是相反的，而且是质心不动的，不同的初基晶胞有一个位相差。在离子晶体中由于它们不断的反位相振动，电偶极距可与电磁波耦合，这种振动模式可用光波来激发，故称之为光学支振动模式，实际上它是简正模式中的一部分，而不是光波，它可与光波耦合，但不要与光波混淆。ikae对“－”号支：这表明ka《1时，同一初基晶胞中两个原子每时每刻是同位相运动（振动之比为1），而且连同质心一起作整体运动。不同初基晶胞之间的振动有一个相因子，初基晶胞的整体运动存在着类似声波的色散关系ω=vk，有类似声波的性质，故称之为声学支模式。它不是声波。ikae1/vu两支模式的区别在于，光学支模式是描写初基晶胞中两个原子相对运动的振动模式，若这两个原子组成一个分子，光学支模式实际上是分子振动模式，描写的是同一个分子中的原子的相对运动情况，声学支模式代表同一初基晶胞中原子的整体运动，若初基晶胞中的两个原子组成一个分子的话，声学支模式则代表分子的整体运动模式，这种振动模式的色散关系类似于声波。但它不是声波。当k=±设对声学支对光学支1coskaa时，则21MM12/2Mc22/2MC3．简正模式计数在前面的讨论中无论是单原子点阵还是双原子点阵我们只讨论一维情况，还没有涉及到简正模式的偏振状态，在三维空间，对一个波矢对应有3个偏振态，两个横振动，一个纵振动，对于3个不同的偏振态来说原子的力常数是不同的。纵波的原子的运动与波的传播是同向的，原子间的作用力是拉伸力，而横波原子的运动与波的传播是垂直方向的，原子间的作用力是切向力，这样两种力的力常数是不相同的，色散关系也是不一样的。对于单原子晶体，简正模式的色散关系有三支，每支色散关系对应有Ｎ个简正模式，则共有3N个模式，对于双原子点阵，点阵模式的色散关系有6支，3支声学支，3支光学支。每支色散关系各有N个简正模式，故有3N个声学摸，在长波极限下它对应于初基晶胞的整体，这种整体运动的自由度共有3N个，这3N个自由度对应3N个声学模式。光学支也有3N个简正模式，对应与初基晶胞中原子的相对运动，有3N个自由度。因此总的简正模式（包括光学支，声学支）共有3×2×N=6N个，也就是说双原子点阵共有6N个简正模式，这6N个简正模式对应于晶体中