曲线积分与曲面积分总结

第十一章：曲线积分与曲面积分一、对弧长的曲线积分LLydxdyxfdsyxf22),(),(若)()(:tyytxxLt则原式=dttytxtytxf)()())(),((22对弧长的曲线积分222(,,)((),(),())LLfxyzdsfxtytztdxdydz若():()()xxtLyytzztt则原式=222((),(),())(())(())(())fxtytztxtxytztdt常见的参数方程为：特别的：22222.2xyLLLedsedsedse22=2(0)Lxyy为上半圆周BA参数方程()()xxyxxyyy()()xxyyxyyx222xyy2xxy二、对坐标的曲线积分Ldyyxqdxyxp),(),(计算方法一：若)()(:tyytxxL起点处t，终点处t则原式=dttytytxqdttxtytxp)())(),(()())(),((对坐标的曲线积分(,,)(,,)(,,)LPxyzdxQxyzdyRxyzdz():()()xxtLyytzzt起点处t，终点处t则原式=((),(),())()((),(),())()((),(),())()PxtytztxtdtQxtytztytdtRxtytztztdt计算方法二：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式，后者利用参数方程。11(,)(,)(,)(,)LLLpxydxqxydypxydxqxydy1()(,)(,)LDqpdxdypxydxqxydyxy如图：三、格林公式Ddxdyypxq)(Ldyyxqdxyxp),(),(其中L为D的正向边界特别地：当ypxq时，积分与路径无关，且21212211),(),(),(),(21),(),(yyxxyxyxdyyxqdxyxpdyyxqdxyxp(,)(,)(,)PxydxQxydydUxy是某个函数的全微分QPxy注：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积L1L分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式。四、对面积的曲面积分1、当曲面为xyDyxdxdyffyxfyxdszyxyxfz221)),(,,(),,(),(2、当曲面为22(,)(,,)(,(,),)1xzxzDyfxzxyzdsxfxzzffdxdz3、当曲面为22(,)(,,)((,),,)1yzyzDxfyzxyzdsfyzyzffdydz特别的：ds面积。例：22222222xyzedsedsedser为上半球面2222(0)xyzz五、对坐标的曲面积分1、dxdyzyxR),,(中，只能为),(yxfz，它在xoy面的投影为xyD，且外法向量与Z轴正向的夹角为锐角，则原式=DdxdyyxfyxR)),(,,(，否则为负；2、dzdxzyxQ),,(中，只能为),(zxfy，它在xoz面的投影为xzD，且外法向量与Y轴正向的夹角为锐角，则原式=DdxdzzzxfxR)),,(,(，否则为负；3、dydzzyxP),,(中，只能为),(zyfx，它在yoz面的投影为yzD，且外法向量与X轴正向的夹角为锐角，则原式=DdydzzyzyfR),),,((，否则为负；计算方法：11(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)PxyzdydzQxyzdzdxRxyzdxdyPxyzdydzQxyzdzdxRxyzdxdyPxyzdydzQxyzdzdxRxyzdxdyÒ=1()(,,)(,,)(,,)PQRdvPxyzdydzQxyzdzdxRxyzdxdyxyz注：在计算曲面积分时，通过适当的添加平面或曲面，是之变成一个封闭曲面上的曲面积分与所添加平面或曲面上的曲面积分之差，从而对前者利用高斯公式。六、高斯公式dvzRyQxPRdxdyQdzdxPdydz)(其中是的边界曲面的外侧。注：在计算曲面积分时，通过适当的添加平面或曲面，是之变成一个封闭曲面上的曲面积分与所添加平面或曲面上的曲面积分之差，从而对前者利用高斯公式。