第四章复合材料结构分析

4复合材料结构分析4.1复合材料结构分析的基本问题复合材料力学（强度与刚度）复合材料结构力学（边界条件、应力与应变的分布规律）复合材料结构分析及假设（小变形、弹性变形范围内，采用弹性力学的基本方法）xuxyvyzwzzvywyzzuxwzxxvyuxy4.1.1各向异性体弹性力学基本方程A.弹性体受力变形的位移与应变关系由式（4－1）中消去位移u,v,w后可得由于这六个方程是直接由位移－应变关系导出的，因此它们不是独立的，这种方程称为连续性方程，也叫变形协调条件。yzxzxyzyyzzxxzyxxyzyzxyx222222222222222zyxzyxzyxyzxzyxxzyxyzxyzzxyzxyzyxyzxyzx222222B平衡方程体积力（体力：分布在物体体积内的力）表面力（面力：分布在物体表面上的力）图4－2单元体的应力分量以此类推，ABEF面和DEFG面上的应力均为对应的平行面上的应力加上一个增量。略去高阶项，单元体各面上的应力分量分别为CBFG面xxxxxxddxxddxxddxxxzxzxzxyxyxyxxx222222222212121dzzdzzdzzdyydyydyydxxdxxdxxzzzyzyzxzxyzyzyyyzyzxzxzxyxyxx,,,,,,所以有0)()()(,0xdxdydzzdxdzdyydydzdxxdxdydzXxzxzxzxyxyxyxxxxf即方向上在单元体处于平衡状态，000Z0Y0fffzzyzzxyyzyxyzxzxyxzyxzyxzyx，分别得和同理，这组方程称为平衡方程。如果在讨论的问题中可忽略体积力，则上式可简化成000zyxzyxzyxzyzzxyzyxyxzxyxC应力－应变关系5)-(4666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211xyzxyzzyxxyzxyzzyxSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS6)-(4666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211xyzxyzzyxxyzxyzzyxCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC4.1.2弹性力学问题的一般解法分析弹性体在受力后的状态，要求解的是：6个应力分量、6个应变分量、三个位移分量（u,v,w)15个未知数，为此需要15个方程联立求解。在处理问题的过程中，一般有三种方法：1.位移法2.混合法3.力法对于具体问题，采用何种方法，与问题所给的边界条件关系很大。因此，在解弹性力学问题时，根据求解方法和边界条件不同，可归纳为三类基本问题。4.1.3复合材料受拉直杆分析00yzxzxyyxZAP图4－3一端固定一端受拉的复合材料杆当构件的材料主轴与坐标轴不重合时，由广义虎克定律可得应变分量：12)-(4036035034033023013SSSSSSxyxzyzzyx为求解单向杆受拉的变形问题，根据几何关系式（4－1）并将式（4－12）代入，有注意到位移乃是坐标x、y、z的函数，积分方程组（4－13）的前三式有),(),,(),(),,(),(),,(303320231013yxzzyxwzxyzyxvzyxzyxufSfSfS（4－14）036035034033023013SSSSSSxvyuxwzuywzvzwyvxu（4－13）显然，如果能设法确定出上式中的待定函数便可得到位移，进而可解出复合材料杆各点的应变。为此，首先将式（4－14）代入式（4－13）的后三式中，得将上式积分，得),(),(),(321yxzxzyfff、、(c)),(),((b)),(),((a)),(),(016210353103432SffSffSffxzxyzyxyxzzyyyxzzx)(),(x),(x的函数，y，且仅且无x也y)(x,x无关关，故推x变量均z)(y,z和可知，由于(b)式分析方程组11035331035ffσSyzyyxFfSf关应与与中的12035113113)()(),()()(),(yzzyzyyxyyxGSFfGFf同理，由式（C）得积分后可直接得到，'11036212222)()(),()()(),(zyyzzyzxzzxHSFfHFf将上式结果代入(a)中，得0342211)()()()(SzxzyxyHFGFBzyzyAzyxzyzyxHSGSHGFFFF＝＝即和＝＝即恒成立，必有、、若使上式对任意－)(034)()()()()(,0)()(21034212121503424121)()()()(BzzzByyDAzzCAyySHGFF于是将由式（j）至（o）表达的各函数代入式（d）、（e）、（f）中，得根据恒等式的同类项相等，则知系数CzzzDyyySHSG03510362)()(11,0A34325034210360351),(16)-(4),(),(ByCxyxBzzDzzxDyyzCzzyfSfSSf），并整理得－）代回式（－代替，将式（、、分别用、、并将令144164,,,32143052010DCBwvuwSvSSuSSSxyzzyxwzxzyzyxvyzzyxzyxu021033013034230320353613),,()(),,()(),,(坐标轴的转角。乃表示杆绕、、为杆的初始位移，而、、式中321000wvu代入式（4－17）中可得公式中的各常数利用复合材料受拉杆的边界条件，若在原点x,y,z=0处的初始位移和转角均为零，即当x＝y＝z=0时，00yuxvzvzuwvu03630352034100021,,0SSSwvu最后得到各位移分量的公式：)3334(),,()21(),,()21(),,(0350362303613zSySxSSSSSzyxwxyzyxvyxzyxu由此可见，如前图4－3的复合材料受拉杆，当材料主轴与载荷作用方向（z轴）不重合时，构件的变形是比较复杂的，它不仅轴向伸长而且还伴随有剪切变形。4.1.4纯剪和纯弯载荷作用下的复合材料构件分析A.受纯剪载荷的复合材料板上图是受纯剪载荷的复合材料板，纯剪应力00xzxyzyxyz其余应力分量分析在此载荷作用下复合材料板的变形。引用广义虎克定律可得应变：图4－4纯剪载荷作用下的复合材料板积分前三式得代入后三式，得046045044034z024y014SSSSSSxvyuxwzuywzvzwyvxuxyxzyzx(c)),(),,((b)),(),,((a)),(),,(303420241014yxzzyxwzxyzyxvzyxzyxufSfSfS(f)),(),((e)),(),((d)),(),(046210453104432SffSffSffxzxyzyxyxzzyyyxzzx按上节处理方法，由式（d）（e）（f）求得待定的函数：将式（g）（h）（i）代入式（a）（b）（c）中，得位移分量为(i))()(),((h))(),((g)),(330441045323204621121yCxCyxzCxCzxzCyCzySSfSff331034444523202446112014)(),,()(),,(),,(yxzyxzyxwzxyxzyxvzyxzyxuccSSSccSSccS若板在x=y=z处固定，此处由此可得最后得到纯剪载荷下复合材料板的位移：均为零。、、和xvyuzvzuwvu004623132121,00Sccc和)3444(),,()21(),,()21(),,(0450462404614zSySxSSSSSzyxwxyzyxvyxzyxu(4-22)分析上式所表示的位移可知，在纯剪载荷作用下的复合材料板，变形后仍为一平面，但中面已离开了原来位置，变成了平行四边形，如考虑板厚，整个变形为斜平行六面体，在z轴方向上的伸长为（见书中图4－5）：板在剪切变形后，形状和体积都发生了变化，体积应变为：23)-(4340llS)(3424140SSSzyxV仅有形状变化。则体积应变为零，轴重合，因如果材料主轴与,0342414SSSzB.受纯弯载荷作用的复合材料梁图4－6受纯弯载荷作用的复合材料梁上图是截面为任意形状的复合材料梁。在包含一截面形心惯性主轴y的yoz面内受到弯矩M作用，分析梁的变形。此时按纯弯分析，各应力分量为：0xyxzyzyxyIMz其中I为横截面对x轴的惯性矩。当构件的材料主轴与所选的坐标系不重合时，应变分量由广义虎克定律确定为：yyyyyy363534332313IMSIMSIMSIMSIMSIMSxyxzyzzyx根据几何方程，上式可写作yIMyIMyIMyIMyIMyIM363534332313SSSSSSxvyuxwzuywzvzwyvxu（4－25）积分前三式得代入（4－25）的后三式中，得),(),,(),(),,(),(),,(3332223113yxyzIMzyxwzxyIMzyxvzyxyIMzyxufSfSfS（4－26）(a)),(),(342333yIMSzxfzyxfyzIMS(b)),(),(3531yIMSyxfxzyfz(c)),(),(362113yIMSzxfxzyfyxIMS显然，式（b）仅为y的函数，即有将上两式积分，分别得到同理式©也仅为z的函数，积分后可得)(IM),()(),(3531yFySyxfxyFzyfz)()()(),()()()