专题4.12：向量中求模和夹角取值范围问题研究与拓展.pdf

试题为高清版下载可打印试题为高清版下载可打印专题4.12：向量中求模和夹角取值范围问题研究与拓展【探究拓展】探究1：若平面向量α,β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角的取值范围是12656，探究2：已知平面向量α，β（α≠0，α≠β）满足|β|=1，且α与β-α的夹角为120°，则|a|的取值范围是3320，设，，由余弦定理可知：，要求的取值范围，xy212122xyyxx则将方程视为以为主元的一元二次方程，由判别式可得y3320，或解：正弦定理也可以建立边和角的不等关系，从而求出结果3320，变式1：已知，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值ac0)()(cbcac是___________函数方程的思想，和引例2方法一致2变式2：设向量a,b,c满足|a|=|b|=1,a·b=,a-c,b-c=60,则|c|的最大值为.2120识：利用四点共圆的结论完成该题，|c|的最大值即为圆的直径变式3：已知向量，，满足，，则的最小值为．ab1a0)2)((babab112，探究3：已知，若对任意，，则为_______三角形.（在锐角、直角、ABCRtACBCtBAABC钝角中选择一个填写）直角变式1：已知，若对任意，，则为______三角形ABCRtBABCtBAABC（在锐角、直角、钝角中选择一个填写）直角变式2：已知，若对任意，，则为______三角形（在锐角、ABCRtBCBABCtBA2ABC直角、钝角中选择一个填写）钝角变式3：已知，若对任意，，则中哪一边最短？BCABCRtBCBCtBAABC试题为高清版下载可打印试题为高清版下载可打印变式4：已知，若对任意，，则的取值范围是_________ABCRtBCBABCtBA21ACB锐角变式5：（2012年华约）向量，，若对任意的，，则________.（填满足ea1eRteaeta条件的序号）（1）；（2）；（3）ea)(aea)(aee（4）3)()(aeea拓展1：在平面上，12ABAB，121OBOB，12APABAB.若12OP，则OA的取值范围是____________.7,22解法1（特殊化）：设，，；1(1,0)B2cos,sinB(1,sin)A由12APABAB可知点在轴上，当12OP时，可知.Px60,120则OA.271sin(,2]2解法2（一般化）：设，，；1(1,0)B2cos,sinB(,)Axy由12ABAB得到，化简得：1,cos,sin0xyxy(*)；22cossincosxyxxy又由12APABAB得到：.1cos,sinPxy由12OP得到：；2210222cos2cos2sin4xxxyy将(*)式代入到上式中，得到，即.221024xy22724xy因此，.7(,2]2OA解法3（更一般化）：设，，；1(cos,sin)B2cos,sinB(,)Axy由12ABAB得到，化简得：cos,sincos,sin0xyxy；22coscossinsincosxyxy又由12APABAB得到：.coscos,sinsinPxy试题为高清版下载可打印试题为高清版下载可打印12OP得：；22102[1coscossinsincos]4xyxy即有，得.221024xy7(,2]2OA拓展2：已知中，，，点是线段（含端点）上的一ABCABAC||2ABACMBC点，且，则的取值范围是___________.()1AMABAC||AM解：由于点是线段（含端点）上的一点，故可设，其中；那么MBC=(1)AMABAC01()(1)()AMABACABACABAC，又221ABACABACABAC0ABAC则()AMABAC221ABAC2241ACAC，2412AC得到，即有；24121AC21412AC又，可计算得到；20,4AC3,142(1)AMABAC2222(1)ABAC;22224(1)AC244121由得到.3,14||AM1,12另解：建立如图所示的直角坐标系，由可知，点在以ABACABC为直径的圆周上，设，；；cos,sinA0,2,0,0,1Mtt由得到：；()1AMABAC2cos,sincos,sin1t即有：；由得到，，则有.12cost0,2cos0,1112cos2t1,12t试题为高清版下载可打印试题为高清版下载可打印拓展3：已知圆：，为坐标原点，若正方形的一边为圆的一条弦，则线段O221xyOABCDABOOC长度的最大值为解：设，则由得到：，化简得到：00(1,0),(,),(,)ABxyCxyBDAC001(1,)(,)022xyxyxy即.22000()()2(1).xxyyx02(1)BCx那么要求范围，只要在△中利用余弦定理，又，计算得到，则OCOBCcossinOBCOBA012OAxd，202200001211cos12(1)21222(1)xOCxOBCOCxxx令，即亦即.0cosx232cos2sin[322,322],OC[21,21]OC试题为高清版下载可打印试题为高清版下载可打印【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？