研究生固体物理-第五章-金属自由电子论(上)

物理现象或实验结果物理模型决定因素结果与预言验证修改理论解释第五章金属自由电子论§5.1Sommerfeld的自由电子论电子在运动中存在一定的散射机制。一、自由电子模型电子在一有限深度的方势阱中运动，电子间的相互作用忽略不计；电子按能量的分布遵从Fermi－Dirac统计；电子的填充满足Pauli不相容原理；二、运动方程及其解2202VEmV0：电子在势阱底部所具有的势能，取V0＝0。令222mEk有220k1.运动方程方程的解：iAekrkrA：归一化因子，由归一化条件确定。1expiVkrkrk：电子波矢电子的能量：222kEmk()1Vdkk*V:金属的体积1AV金属中原胞的总数：N＝N1N2N3周期性边界条件：k(r)＝k(r+Na)，＝1,2,311expexpiiVVkrkraNexp1ikaN2.周期性边界条件设N是金属沿基矢a（＝1，2，3）方向的原胞数，h为整数2hkaN令：112233kbbb112233kabbbaNN22hN312123123hhhNNNkbbbhNh为整数，＝1,2,3每一个量子态在k空间中所占的体积为：123123111bbbbNNNN在k空间中，波矢k的分布密度为33.88abvVconstkNN在k空间中，电子态的分布是均匀的，分布密度只与金属的体积有关。38abv3.能态密度22222222xyzkEkkkmmk在能量为E的球体中，波矢k的取值总数为343kk考虑电子自旋，如将每一个自旋态看作一个能态，在能量为E的球体中，电子能态总数为323233324438232mVZEkEk32322323VmZEE定义：能态密度32122322VmdZNEEdE其中：322322VmC电子的能态密度并不是均匀分布的，电子能量越高，能态密度就越大。12CE能态密度：在E－E＋dE之间单位能量间隔中的能态数。三、Fermi－Dirac统计1.量子统计基础知识经典的Boltzmann统计：expBEfEkT量子统计：Fermi－Dirac统计和Bose－Einstein统计玻色子：自旋为整数n的粒子（如：光子、声子等），玻色子遵从Bose－Einstein统计规律，玻色子不遵从Pauli原理。费米子：自旋为半整数（n＋1/2）的粒子（如：电子、质子、中子等），费米子遵从Fermi－Dirac统计规律，费米子的填充满足Pauli原理。2.T＝0时电子的分布T＝0时，电子的分布函数为f(E)={1EEF00EEF0EEF001f(E)T＝0022FFmEk——费米半径FFFPkmV——费米动量2202FFkEm——费米能FFkVm——费米速度在E－E＋dE中的电子数为：dN＝f(E)N(E)dE系统的自由电子总数为0NfENEdET＝000FENEdE031220023FEFCEdECE322322VmCNnV——自由电子密度金属：n：1022~1023cm－3323202323FVmNE2323220223322FNEnmVmEF0~几个eV系统的总能量：00UEfENEdET＝000FEENEdE定义Fermi温度：0FFBETk金属：TF：104~105K物理意义：设想将EF0转换成热振动能，相当于多高温度下的振动能。元素EF0(eV)TF(104K)元素EF0(eV)TF(104K)Li4.725.48Mg7.138.27Na3.233.75Ca4.685.43K2.122.46Sr3.954.58Rb1.852.15Ba3.654.24Cs1.581.83Zn9.3910.90Cu7.008.12Cd7.468.66Ag5.486.36Al11.6313.49Au5.516.39Ga10.3512.01Be14.1416.41In8.609.98一些金属元素费米能与费米温度的计算值3.T0时的分布能量在E－E＋dE之间的电子数为：dNfENEdE1exp1BfEEkT——Fermi－Dirac分布函数：电子的化学势，其物理意义是在体积不变的情况下，系统增加一个电子所需的自由能。当E＝时，f()＝1/2，代表填充概率为1/2的能态。expexpexpBBBEEfEkTkTkTE，f(E)迅速趋于零。这表明，E－几个kBT的能态基本上是没有电子占据的空态。当E－几个kBT时，exp[(E－)/kBT]1，这时，Fermi－Dirac分布过渡到经典的Boltzmann分布。对金属，TTF总是满足的，将金属自由电子气称为强简并的费米气体。－E几个kBT时，exp[(E－)/kBT]1，f(E)1。这表明，－E几个kBT的能态基本上是满态。在强简并情况下，EF（EF是T0时的费米能）。量子力学中能量的简并性：能量简并性；金属自由电子气的简并性：统计的简并性，即指金属自由电子气与理想气体遵从的统计规律的差异性。对于半导体，n~1017cm-3，其TF~102K,当T~TF时，其分布已经很接近于经典分布了。对于金属而言，由于TTF总是成立的，因此，只有费米面附近的一小部分电子可以被激发到高能态，而离费米面较远的电子则仍保持原来（T＝0）的状态，我们称这部分电子被“冷冻”下来。因此，虽然金属中有大量的自由电子，但是，决定金属许多性质的并不是其全部的自由电子，而只是在费米面附近的那一小部分。四、结果与讨论（粗略的数量级估算）1.电子热容量对于金属，当T0时，只有在费米面附近几个kBT的电子受热激发，对电子热容量的贡献主要来自费米面附近厚度~kBT的一层电子。FFNfENEE在E－EFkBT中的电子数为00122FBFBNEkTNEkT032BFNNkTE而每个电子热运动的平均能量：32BkT由于热激发，系统所获得的能量为2203294BBFkTUNkTNE03223FNCE0012FFNECE0032FFNNEE09922BeBBFFdUkTTCNkNkdTET电子热容量为：对于一摩尔金属，N＝ZN0，Z：每个金属原子所贡献的自由电子数。92eFTCZRT常温下，CL3R，由于TTF，所以CeCL，即常温下可以不必考虑电子热容量的贡献。0FBFEkT2.Pauli顺磁考虑T0的极端情况B=0EF0B-BN(E)/2N(E)/2E0B=0时，M=0。B平行于B：－BBB：玻尔磁子，B＝9.27×10－24J/TB0时，自旋磁矩在磁场中的取向能：B反平行于B：＋BBN(E)/2N(E)/2－BBBB－BBEBN(E)/2N(E)/2－BBBB－BBEBEF0自旋磁矩改变方向的电子数：012FBNNEB每个电子的自旋磁矩从－B变为＋B改变了2B所以，产生的总磁矩为022BFBMNNEB0200FBNEHH0200FBMNEH0032FFNNEE200032BFNE0BH由于BBEF0，所以，对电子Pauli顺磁有贡献的并不是金属所有的自由电子，而只是在费米面附近的一小部分电子。3.导电率当0时，电子的定向运动可看成两个过程：当＝0时，系统的总电流为0。电子由于碰撞而失去定向运动。电子在电场的作用下作加速运动；0kxky0时dedtkdedtk费米球的球心将偏离原点位置，使原来对称的分布偏向一边，有一部分电子对电流的贡献不能被抵消，从而产生宏观电流。ddtk电子由于碰撞而失去其定向运动。电子的定向漂移速度为1demmVk=电流密度：2dnenemVj2nemdedtkk费米球心移动的距离为：平均自由时间0kxkykFⅠⅡ第二种解释：只有在费米面附近未被抵消部分的电子才对传导电流有贡献。这部分电子对电流的贡献为21VVFFFFenejnemm11VFFFFFkeekkm这部分电子所占的分数为2Fnem这时，对传导电流有贡献的电子数目虽然少，但其运动速度很快，其结果与高浓度但低漂移速度的电子对电流的贡献相同。严格理论计算结果支持了后一种说法。这主要是由于Pauli不相容原理的结果。能量比EF低得多的电子，其附近的状态仍被其他电子所占据，没有空状态来接纳它。因此，这些电子不能吸收电场的能量而跃迁到较高的能态，对电导作出贡献，能被电场激发而对电导有贡献的只是在费米面附近的一小部分电子。§5.2Sommerfeld展开式及其应用一、问题的提出0NfENEdE0UEfENEdE和由于金属的费米能EF0kBT，当T0时，只有在费米面附近的一小部分电子被激发而跃迁到高能态，而比费米能低几个kBT的电子仍保持原来的状态，因此，这种类型的积分可以作适当的近似处理。这类积分不能用精确的解析表达式积出，因而给定量计算金属的性质带来困难。二、Sommerfeld展开式设函数Q(E)在（-，+）上连续可微，Q(0)＝0，并且满足条件，其中α为大于0的常数。在kBTEF的情况下，有lim0EEeQE2206FBFIfEQEdEQEkTQE其中1exp1FBfEEEkT为F－D分布函数证明：0IfEQEdE0dfQEdEdE考察：dfdE2exp1exp1FBBFBEEkTkTEEkT11exp1exp1BFFBBkTEEEEkTkTdfdE函数的特点：(-df/dE)的值集中在E－EFkBT的一小范围内，当E－EF几个kBT时，函数的值迅速趋于0，具有类似于函数的性质。因此，积分的贡献主要来自E~EF附近的区域，由于EFkBT，所以，我们可以将均分的下限由0改为∞，而并不会影响积分值。dfIQEdEdE(-df/dE)是（E－EF）的偶函数；将Q(E)在E=EF附近展开成Taylor级数：212!FFFFFQEQEQEEEQEEE0FFdfIQEdEQEdEFFFdfdfIQEdEQEEEdEdEdE212FFdfQEEEdEdE1FFdfIQEEEdEdE011FBxxxdxQEkTeeFBEExkT2212FFdfIQEEEdEdE221211FBxxxdxQEkTee奇函数偶函数222201xBFxxedxIkTQEe